張齊華《加法交換律》課堂實錄
在日常學習、工作抑或是生活中，大家都不可避免地會接觸到課堂實錄吧，下面是小編整理的張齊華《加法交換律》課堂實錄，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
交換律是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。下面是小編為你帶來的 張齊華《加法交換律》課堂實錄，歡迎閱讀。
師：喜歡聽故事嗎？
生：喜歡。
師：那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。聽完故事，想說些什麼？（結合生髮言板書：3+4=4+3）
師：觀察這一等式，你有什麼發現？
生1：我發現，交換兩個加數的位置和不變。(教師板書這句話)
師：其他同學呢？(見沒有補充)老師的發現和他很相似，但略有不同。(教師出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論，你想說些什麼？
生2：我覺得您(老師)給出的結論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結論能代表許多情況。
生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。
師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數的位置和不變”這樣的結論，似乎草率了點。但我們不妨把這一結論當作一個猜想(教師將生1結論中的“。”改為“？”)。既然是猜想，那麼我們還得——
生：驗證。
師：怎麼驗證呢？
生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？
師：怎樣的例子，能否具體說說？
生1：比如再列一些加法算式，然後交換加數的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學生普遍認可）
師：那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢？
生2：五、六個吧。
生3：至少要十個以上。
生4：我覺得應該舉無數個例子才行。不然，永遠沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點頭贊同）
生5：我反對！舉無數個例子，那得舉到什麼時候才好？如果每次驗證都需要這樣的話，那我們永遠都別想得到結論！
師：我個人贊同你（生5）的觀點，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數位置和發生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？（學生贊同，隨後在作業紙上嘗試舉例。）
師：正式交流前，老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現的兩種不同的情況。
（教師展示：1．先寫出12＋23和23＋12，計算後，再在兩個算式之間添上“＝”。2．不計算，直接從左往右依次寫下“12＋23＝23＋12”。）
師：比較兩種舉例的情況，想說些什麼？
生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。（生笑）
生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數的位置和到底等不等，但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已，至於兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。（大家對生6、生7的發言表示贊同。）
師：哪些同學是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？
師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。
師：其餘同學，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發現？
生8：我舉了三個例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。從這些例子來看，交換兩個加數的位置和不變。
生9：我也舉了三個例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也覺得，交換兩個加數的位置和不變。
（注：事實上，選生8、生9進行交流，是教師有意而為之。）
師：兩位同學舉的例子略有不同，一個全是一位數加一位數，另一個則有一位數加一位數、二位數加兩位數、三位數加三位數。比較而言，你更欣賞誰？
生10：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。
生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數加一位數，那麼我們最多隻能說，交換兩個一位數的位置和不變。至於加數是兩位數、三位數、四位數等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學的。
生12：我也更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應該這樣，要考慮到方方面面。（多數學生表示贊同。）
師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？
教師出示作業紙：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。
生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。
生：他還舉到了分數的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數的位置和不變，交換兩個分數的位置和也不變。
師：沒錯，因為我們不只是要說明“交換兩個整數的位置和不變”，而是要說明，交換——
生：任意兩個加數的位置和不變。
師：看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問。現在，有了這麼多例子，能得出“交換兩個加數的位置和不變”這個結論了嗎？（學生均認同）有沒有誰舉例時發現了反面的例子，也就是交換兩個加數位置和變了？這樣看來，我們能驗證剛才的猜想嗎？
生：能。
（教師重新將“？”改成“。”，並補充成為：“在加法中，交換兩個加數的位置和不變。”）
師：回顧剛才的學習，除了得到這一結論外，你還有其它收穫嗎？
生：我發現，只舉一、兩個例子，是沒法驗證某個猜想的，應該多舉一些例子才行。
生：舉的例子儘可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。
師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+4＝4+3”，進而形成猜想。隨後，又透過舉例，驗證了猜想，得到了這一規律。該給這一規律起什麼名稱呢？（學生交流後，教師揭示“加法交換律”，並板書。）
師：在這一規律中，變化的是兩個加數的――（板書：變）
生：位置。
師：但不變的是――
生：它們的和。（板書：不變）
師：原來，“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結合在一起。
結論，是終點還是新的起點？
師：從個別特例中形成猜想，並舉例驗證，是一種獲取結論的方法。但有時，從已有的結論中透過適當變換、聯想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結論。比如（教師指讀剛才的結論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個加數的位置和不變。”那麼，在——
生1：減法中，交換兩個數的位置，差會不會也不變呢？（學生中隨即有人作出回應，“不可能，差肯定會變。”）
師：不急於發表意見。這是他（生1）透過聯想給出的猜想。
（板書：“猜想一：減法中，交換兩個數的位置差不變？”）
生2：同樣，乘法中，交換兩個乘數的位置積會不會也不變？
（板書：“猜想二：乘法中，交換兩個數的位置積不變？”）
生3：除法中，交換兩個數的位置商會不變嗎？
（教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個數的位置商不變？”）
師：透過聯想，同學們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價值的思考。除此以外，還能透過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？
生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個加數”換成“三個加數”、“四個加數”或更多個加數，不知道和還會不會不變？
師：這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個加數的位置和不變？”)現在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇你最感興趣的一個，用合適的方法試著進行驗證。
（學生選擇猜想，舉例驗證。教師參與，適當時給予必要的指導。然後全班交流。）
師：哪些同學選擇了“猜想一”，又是怎樣驗證的？
生5：我舉了兩個例子，結果發現8－6＝2，但6－8卻不夠減；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5卻不夠減。所以我認為，減法中交換兩個數的位置差會變的，也就是減法中沒有交換律。
師：根據他舉的例子，你們覺得他得出的結論有道理嗎？
生：有。
師：但老師舉的例子中，交換兩數位置，差明明沒變嘛。你看，3－3＝0，交換兩數的位置後，3－3還是得0；還有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，這樣的例子多著呢。
生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數和減數不一樣，那就不行了。
生7：我還有補充，我只舉了一個例子，2－1≠1－2，我就沒有繼續往下再舉例。
師：哪又是為什麼呢？
生7：因為我覺得，只要有一個例子不符合猜想，那猜想就錯了。
師：同學們怎麼理解他的觀點。
生8：（略。）
生9：我突然發現，要想說明某個猜想是對的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個猜想是錯的，只要舉出一個不符合的例子就可以了。
師：瞧，多深刻的認識！事實上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數學上我們就稱作“正例”，至於不符合猜想的例子，數學上我們就稱作――
生：反例。（有略。）
師：關於其它幾個猜想，你們又有怎樣的發現？
生10：我研究的是乘法。透過舉例，我發現乘法中交換兩數的位置積也不變。
師：能給大家說說你舉的例子嗎？
生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。
（另有數名同學交流自己舉的例子，都侷限在整數範圍內。）
師：那你們都得出了怎樣的結論？
生11：在乘法中，交換兩數的位置積不變。
生12：我想補充。應該是，在整數乘法中，交換兩數的位置積不變，這樣說更保險一些。
師：你的思考很嚴密。在目前的學習範圍內，我們暫且先得出這樣的結論吧，等學完分數乘法、小數乘法後，再補充舉些例子試試，到時候，我們再來完善這一結論，你們看行嗎？（對猜想三、四的討論略。）
隨後，教師引導學生選擇完成教材中的部分習題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，並藉助實際問題，溝通“交換律”與以往演算法多樣化之間的`聯絡。
怎樣的收穫更有價值？
師：透過今天的學習，你有哪些收穫？
生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。
生：我發現，有了猜想，還需要舉許多例子來驗證，這樣得出的結論才準確。
生：我還發現，只要能舉出一個反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。
生：舉例驗證時，例子應儘可能多，而且，應儘可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結論才更可靠。
師：只有一個例子，行嗎？
生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。
（作為補充，教師給學生介紹瞭如下故事：三位學者由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發現了一隻黑羊。“真有意思，”天文學家說：“蘇格蘭的羊都是黑的。”“不對吧。”物理學家說，“我們只能得出這樣的結論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的。”數學家馬上接著說：“我覺得下面的結論可能更準確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個地方，有至少一隻羊，它是黑色的。”）
必要的拓展：讓結論增殖！
師：在本課將結束時，依然有一些問題需要留給大家進一步思考。
（教師出示：20－8－6○20－6－8 ;60÷2÷3○60÷3÷2）
師：觀察這兩組算式，你發現什麼變化了嗎？
生：我發現，第一組算式中，兩個減數交換了位置，第二組算式中，兩個除數也交換了位置。
師：交換兩個減數或除數，結果又會怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能透過進一步的舉例驗證猜想並得出結論嗎？這些結論和我們今天得出的結論有衝突嗎，又該如何去認識？
專家評析張齊華教學的《交換律》一課
一堂有價值的數學課，給予學生的影響應該是多元而立體的。有知識的豐厚、技能的純熟，更有方法的領悟、思想的啟迪、精神的薰陶。事實上，數學的確擁有這一切，而且，也可能傳遞這一切。然而，出於對知識與技能的盲目追逐，當今數學課堂忽視了本該擁有的文化氣度和從容姿態。知識化、技巧化、功利化思想的不斷彌散，讓數學思想、方法和精神失卻了可能生長的土壤，並逐漸為數學課堂所遺忘，這不能不說是當今眾多數學課堂的悲哀。近年來，在觀念層面的探討不少，真正落實到課堂教學實踐的卻不多。可喜的是，在張老師的這一節課中，我們看到了另一種努力，以及由此而帶來的變化。透過課堂，我們似乎觸及到了數學更為豐厚的內涵，感受到數學教學可能呈現的更為開闊的景象。
對於“交換律”，一貫的教學思路是：結合具體情境，得出某一具有交換律特徵的例項，由此引發猜想，並藉助舉例驗證猜想、形成結論，進而在解釋和應用的過程中進一步深化認識。本課，在宏觀架構上並未作太大開拓。然而，在保持其整體架構的基礎上，這一堂課在更多細節上所給予的突破卻是十分顯見。我們不妨重歷課堂，去找尋這些細節，並探尋細節背後的意蘊所在。由“3+4=4+3”得出“交換兩數的位置，和不變”的猜想，似乎再自然不過了。然而，教師略顯突兀的介入，以“交換的位置，和不變”的細微變化，確又發人於深思。正如案例中所提及的，“一個例子究竟能說明什麼”，是得出結論？還是僅僅是觸發猜想和驗證的一根引線？這裡關乎知識的習得，更關乎方法的生成，關乎學生對於如何從事數學思考的思考。 “驗證猜想，需要怎樣的例子”的探討，更是折射出了張老師獨特的教學智慧。曾經，在太多的課堂裡，我們目睹這樣的情形：學生舉例三、四，教師引導學生匆匆過場，似乎也有觀察、也有比較、也有提煉。然而，我們卻很少琢磨：觀察也好、提煉也罷，它究竟該建立在怎樣的基石之上，再換言之，在“簡潔”和“豐富”之間，誰才是“舉例驗證猜想”時應該遵循的規則。張老師的嘗試與表達無疑是對傳統教學的一種突破。“舉例”不應只追求簡約，例子的多元化、特殊性恰恰是結論準確和完整的前提。沒有老師適時的點撥與引導，學生如何才能有此深度體驗？無此體驗，我們如何能說，學生已經歷過程，並已感悟思想與方法？
觸及我深思的問題還在於，是什麼原因觸發了這一節課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”？是內容的簡單擴張？是教學結構的適度調整？隨後的課堂，給了我清晰的答覆。“加法結合律”只是一個觸點，“減法中是否也會有交換律？”“乘法、除法中呢？”等新問題，則是原有觸點中誕生的一個個新的生長點。統整到一起時，作為某一特定運算的“交換律知識”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關係、“猜想－實驗－驗證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數學聯想等卻一一獲得突顯，成為超越於知識之上的更高的數學課堂追求。這何嘗不是一種有意義、有價值的探索？
課堂的結尾，我們依然看到了教師對傳統保守思路的背叛。確定的、可靠的結論已經不再是這一堂課的終極追求，結論的可增殖性、結論的重新表達、問題的不斷生成和捲入，彷彿成為了這堂課最後的價值取向。即便是顛覆原有的結論，也在所不惜。在這裡，我們再一次看到了教師對於數學知識的“戰略性”忽視，因為，教師心有大氣象。
數學是什麼，數學可以留下些什麼，數學可以形成怎樣的影響力？答案並不唯一。但我以為，數學可以在人的內心深處培植理性的種子，她可以讓你擁有一顆數學的大腦，學會數學地思考，學會理性、審慎地看待問題、關注周遭、理解世界，這恰是這節課給予我們的最大啟迪。而數學的文化特性，恰也在於此。
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