數學運用公式二教學設計參考
2.3.2 運用公式法（二）
●教學目標
（一）教學知識點
1.使學生會用完全平方公式分解因式.
2.使學生學習多步驟，多方法的分解因式.
（二）能力訓練要求
在匯出完全平方公式及對其特點進行辨析的過程中，培養學生觀察、歸納和逆向思維的能力.
（三）情感與價值觀要求
透過綜合運用提公因式法、完全平方公式，分解因式，進一步培養學生的觀察和聯想能力.
●教學重點
讓學生掌握多步驟、多方法分解因式方法.
●教學難點
讓學生學會觀察多項式的特點，恰當地安排步驟，恰當地選用不同方法分解因式.
●教學方法
觀察—發現—運用法
●教具準備
投影片兩張
第一張（記作2.3.2 A）
第二張（記作2.3.2 B）
●教學過程
Ⅰ.創設問題情境，引入新課
［師］我們知道，因式分解是整式乘法的反過程，倒用乘法公式，我們找到了因式分解的兩種方法：提取公因式法、運用平方差公式法.現在，大家自然會想，還有哪些乘法公式可以用來分解因式呢？
在前面我們不僅學習了平方差公式
（a+b）（a－b）=a2－b2
而且還學習了完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2
本節課，我們就要學習用完全平方公式分解因式.
Ⅱ.新課
1.推導用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點.
［師］由因式分解和整式乘法的關係，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
［生］可以.
將完全平方公式倒寫：
a2+2ab+b2=（a+b）2;
a2－2ab+b2=（a－b）2.
便得到用完全平方公式分解因式的公式.
［師］很好.那麼什麼樣的多項式才可以用這個公式分解因式呢？請大家互相交流，找出這個多項式的特點.
［生］從上面的式子來看，兩個等式的左邊都是三項，其中兩項符號為“+”，是一個整式的平方，還有一項符號可“+”可“－”，它是那兩項乘積的兩倍.凡具備這些特點的三項式，就是一個二項式的完全平方，將它寫成平方形式，便實現了因式分解.
［師］左邊的特點有（1）多項式是三項式；
（2）其中有兩項同號，且此兩項能寫成兩數或兩式的平方和的形式；
（3）另一項是這兩數或兩式乘積的2倍.
右邊的特點：這兩數或兩式和（差）的平方.
用語言敘述為：兩個數的平方和，加上（或減去）這兩數的乘積的2倍，等於這兩個數的和（或差）的平方.
形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子稱為完全平方式.
由分解因式與整式乘法的`關係可以看出，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法.
投影（2.3.2 A）
練一練
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）x2+4x+42;
（3）4a2+2ab+ b2;
（4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9;
（6）a2+a+0.25.
［師］判斷一個多項式是否為完全平方式，要考慮三個條件，項數是三項；其中有兩項同號且能寫成兩個數或式的平方；另一項是這兩數或式乘積的2倍.
［生］（1）是.
（2）不是；因為4x不是x與2乘積的2倍；
（3）是；
（4）不是.ab不是a與b乘積的2倍.
（5）不是，x2與－9的符號不統一.
（6）是.
2.例題講解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）（+n）2－6（ +n）+9.
［師］分析：大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然後再根據公式分解因式.公式中的a,b可以是單項式，也可以是多項式.
解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（ +n）2－6（ +n）+9=（ +n）2－2（ +n）×3+32=［（ +n）－3］2=（ +n－3）2.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6ax+3a2;
（2）－x2－42+4x.
［師］分析：對一個三項式，如果發現它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細觀察它是否有公因式，若有公因式應先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式.
如果三項中有兩項能寫成兩數或式的平方，但符號不是“+”號時，可以先提取“－”號，然後再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax2+6ax+3a2
=3a（x2+2x+2）
=3a（x+）2
（2）－x2－42+4x
=－（x2－4x+42）
=－［x2－2x2+（2）2］
=－（x－2）2
Ⅲ.課堂練習
a.隨堂練習
1.解：（1）是完全平方式
x2－x+ =x2－2x +（ ）2=（x－ ）2
（2）不是完全平方式，因為3ab不符合要求.
（3）是完全平方式
2+3 n+9n2
=（ ）2＋2× ×3n+（3n）2
=（ +3n）2
（4）不是完全平方式
2.解：（1）x2－12x+362
=x2－2x6+（6）2
=（x－6）2;
（2）16a4+24a2b2+9b4
=（4a2）2+24a23b2+（3b2）2
=（4a2+3b2）2
（3）－2x－x2－2
=－（x2+2x+2）
=－（x+）2;
（4）4－12（x－）+9（x－）2
=22－2×2×3（x－）+［3（x－）］2
=［2－3（x－）］2
=（2－3x+3）2
b.補充練習
投影片（2.3.2 B）
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab+b2;
（2）a2b2+8abc+16c2;
（3）（x+）2+6（x+）+9;
（4） － +n2;
（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;
（6） x2－x4－
解：（1）4a2－4ab+b2=（2a）2－22ab+b2=（2a－b）2;
（2）a2b2+8abc+16c2=（ab）2+2ab4c+（4c）2=（ab+4c）2;
（3）（x+）2+6（x+）+9
=（x++3）2;
（4） － +n2=（ ）2－2× ×n+n2=（ －n）2;
（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9
=［2（2a+b）］2－2×2（2a+b）×3+32
=［2（2a+b）－3］2
=（4a+2b－3）2;
（6） x2－x4－
=－（x4－ x2+ ）
=－［（x2）2－2x2 +（ ）2］
=－（x2－ ）2
Ⅳ.課時小結
這節課我們學習了用完全平方公式分解因式.它與平方差公式不同之處是：
（1）要求多項式有三項.
（2）其中兩項同號，且都可以寫成某數或式的平方，另一項則是這兩數或式的乘積的2倍，符號可正可負.
同時，我們還學習了若一個多項式有公因式時，應先提取公因式，再用公式分解因式.
Ⅴ.課後作業
習題2.5
1.解：（1）x22－2x+1=（x－1）2;
（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;
（3）2++ =（+ ）2;
（4）252－80 +64=（5 －8）2;
（5） +x+2=（ +）2;
（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2
2.解：（1）（x+）2+6（x+）+9
=［（x+）+3］2
=（x++3）2;
（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2
=［a－（b+c）］2
=（a－b－c）2;
（3）4x2－4x2－3
=（4x－4x2－2）
=－（4x2－4x+2）
=－（2x－）2;
（4）－a+2a2－a3
=－（a－2a2+a3）
=－a（1－2a+a2）
=－a（1－a）2.
3.解：設兩個奇數分別為x、x－2,得
x2－（x－2）2
=［x+（x－2）］［x－（x－2）］
=（x+x－2）（x－x+2）
=2（2x－2）
=4（x－1）
因為x為奇數，所以x－1為偶數，因此4（x－1）能被8整除.
Ⅵ.活動與探究
寫出一個三項式，再把它分解因式（要求三項式含有字母a和b，分數、次數不限，並能先用提公因式法，再用公式法分解因式.
分析：本題屬於答案不固定的開放性試題，所構造的多項式同時具備條件：①含字母a和b；②三項式；③可提公因式後，再用公式法分解.
參考答案：
4a3b－4a2b2+ab3
=ab（4a2－4ab+b2）
=ab（2a－b）2
●板書設計
2．3．2 運用公式法（二）
一、1.推導用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點
投影片（2.3.2 A）
2.例題講解
例1、例2
二、課堂練習
a.隨堂練習
b.補充練習（投影片2.3.2 B）
三、課時小結
四、課後作業
●備課資料
參考練習
把下列各式分解因式
1.－4x－4x2－2;
2.3ab2+6a2b+3a3;
3.（s+t）2－10（s+t）+25;
4.0.25a2b2－abc+c2;
5.x2－6x+9;
6.2x32－16x2+32x;
7.16x5+8x32+x4
參考答案：
解：1.－4x－4x2－2
=－（4x2+4x+2）=－（2x+）2;
2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;
3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;
4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;
5.x2－6x+9=（x2－6x+9）=（x－3）2;
6.2x32－16x2+32x=2x（x22－8x+16）=2x（x－4）2;
7.16x5+8x32+x4=x（16x4+8x22+4）=x（4x2+2）2.
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