古國的早期數學歷史介紹
中國篇
古代中國是世界四大文明古國之一。在世界數學發展史上，古代中國的數學成就佔有相當重要的位置。
在人類文化發展的初期，中國人對數學的研究成果，實際上遠遠領先於古巴比倫和古埃及。早在五、六千以前，古代中國人就發明了簡潔的數學符號，到了三千多年前的商朝（約公元前十六世紀到公元前十一世紀），刻在甲骨和陶器上的數字，已經十分常見。透過對當時甲骨文的研究，發現其中有表示一、十、百、千、萬、……的十三種計數單位，這說明當時中國人的計數方法，已經採用了人類現行的“十進位制”。
中國人最早使用十進位制的另一個例證， 是現行數字符號“0”原本起源於中國的古籍。中國古人在刪除文章中錯字的時候，採用的就是“圈除”這種方法，久而久之，這個“○”就成為表示“不存在”，也就是“零”的符號了。而古印度正式使用“0”這個符號，已經是公元876年前後的事了。只有表示“零”的符號“0”產生後，人類發明的十進位制才算完備。 因此，中國是當之無愧的“十進位制故鄉”。
中國古人在運算過程中，採用的是“算籌”這種工具。“算籌”就是一些用木、竹製作的勻稱小棍，中國古人把這些小棍縱橫佈置，就可以表示出任何一個自然數來。據考證，至少在兩千五百多年前的春秋時代，我國古人的算籌記法就已經相當完備了。這種表示數字的方法，無疑走在世界的前列。
我國古人對圓周率的研究，就不用多說了。早在魏晉時期，著名數學家劉徽就計算出了極為準確的圓周率值——3.1416。南北朝時期偉大的數學家祖沖之，進一步計算出圓周率的準確值在3.1415926和3.1415927之間。而歐洲人在1000年之後，才計算出如此精確的圓周率。
我國周朝數學家商高是世界上最早提出勾股定理的人，早於古希臘的畢達哥拉斯。南宋時期的數學家楊輝，創立了數學史上著名的“楊輝三角”，這是人類數學史上對二項式係數的最早探究。
除此之外，中國古人發明的“乘法口訣”（也就是俗稱的“九九表”），大大提高了乘法和除法的筆算效率。中國古人發明的`算盤，則被世界公認為現代計算機的前身。
最奇妙的一件事，莫過於微積分的創始人之一——法國數學家萊布尼茲所認為的，中國是現代計算機理論中“二進位制”的故鄉。萊布尼茲對中國古籍《易經》有很深入的研究，他認為《易經》中的八卦圖形，所記錄的內容就是“二進位制”的思想。按照他的說法，《易經》中的“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”無疑就是“二進位制”思想的體現了。
所以說，古代中國的數學家，不愧為現代數學理論的奠基人；古代中國的數學研究成果，不愧為現代數學理論的基礎。
印度篇
古代印度是個信奉佛教的國度，而古印度人對古代數學的貢獻，就像佛掌上的明珠那樣耀眼和引人注目。
在公元200年到1200年之間，古印度人就知道了數字符號和0符號的應用，這些符號在某些情況下和現在的數字很相近。此後，印度數學引進十進位制的數字，同樣的數字在不同的位置表示完全不同的含義，這樣就大大簡化了數的運算，並使計數法更加明確。比如，古巴比倫的記號▼既可以表示1，也可以表示1/60，而在古印度人那裡，符號1只能表示1個單位，要表示十、百等，必須在符號1的後面加上相應個數的符號0。這實在是個了不起的發明，以致於到了現代，人們在計數的時候依然沿用這種方法。
古印度人很早就會用負數表示欠債和反方向運動。他們還接受了無理數的概念，在實際計算的時候，把適用於有理數的計算方法和步驟運用到無理數中去。另外，他們還解出了一次方程和二次方程。
印度數學在幾何方面沒有取得大的進展，但古印度人對三角學貢獻很大。這是他們熱衷於研究天文學的副產品。如在他們的計算中，用到了三種量——一種相當於現代的正弦，一種相當於現代的餘弦，還有一種稱為“正矢”，在數量上等於1－cosα，這個三角量現在已經不用了。他們還知道一些三角量之間的關係，比如“同角正弦和餘弦的平方和等於1”等等，古印度人還會利用半形表示式計算某些特殊角的三角值。
古印度人在數學史上的偉大貢獻，永遠被後人景仰和傳誦。
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