關於約數和倍數的教學實錄
一、教學內容：原通用教材六年制小學數學第十冊第32—33頁例1、例2，練習九第4—7題。
二、教學目的：使學生理解約數和倍數的意義，初步學會尋找一個數的約數和倍數的方法。
三、教學過程：
師：同學們，我們已經學習了自然數、整數和整除的知識。現在老師想了解一下，你們對這些知識學得怎麼樣。請同學們想一想：什麼樣的數叫做自然數？
生：用來表示物體個數的1、2、3、4……等都叫做自然數。
師：很好。那麼，有沒有最小的自然數呢？
生：有最小的自然數。
師：最小的自然數是幾？
生：最小的自然數是1。
師：有沒有最大的自然數？
生：沒有。
師：為什麼？
生：因為自然數是無限的。
師：因為自然數的個數是無限的，所以就沒有最大的自然數。那麼，請大家想一想：零是不是自然數？
生：零不是自然數。零是整數。
師：為什麼零不是自然數？
生：因為零不能夠表示物體的個數。
師：零不是透過數物體個數得來的，所以零不是自然數。[出示小黑板]大家來看看，小黑板上的兩句話對不對？先看第一句話。
生：“零和自然數都是整數”這句話是對的。
師：再看第二句。
生：“整數就是零和自然數”這句話是錯的。因為除了零和自然數以外，還有我們沒有學過的整數。
師：對！除了零和自然數以外，還有其他的整數，不過現在我們還沒有學到。現在請大家想想：什麼叫做整除？
生：數a除以數b，除得的商正好是整數而沒有餘數，我們就說，數a能被數b整除。
師：這裡所說的數a和數b，一般指的是什麼數？
生：一般指的是自然數。
師：好。[出示小黑板]現在來看看這些算式裡哪些是屬於整除？
生：“15÷3=5”是整除，“24÷2=12”是整除，“8÷4=2”是整除。
師：那麼其他幾個算式是不是屬於整除？[指“14÷3＝4……2”]這是不是整除？為什麼？
生：不是。因為它有餘數。
師：[指“25÷2=12.5”]這個算式呢？
生：不是。因為它的商是小數。
師：[指“0.8÷0.4=2”]這個算式呢？
生：也不是。因為它的被除數和除數都是小數。
師：對。只有被除數、除數和商都是整數，而且沒有餘數，才是整除。大家對這方面的知識學得很好。今天，我們要在這個基礎上繼續學習約數和倍數。[板書“約數和倍數”]透過這節課的學習，要求每個同學都要弄清楚什麼叫做約數，什麼叫做倍數，並且要學會找一個數的約數和倍數的方法。
師：[指著小黑板上“15÷3=5”的算式]我們知道，15能被3整除。我們就說，15是3的倍數，3是15的約數。請同學們跟老師一起說。
師：[合]15是3的倍數，3是15的約數。
生：
師：我們還可以這樣說：因為15能被3整除，所以15是3的倍數，3是15的約數。一齊說一遍。
師：
生：[合]因為15能被3整除，所以15是3的倍數，3是15的約數。
師：現在大家再看第二個能夠整除的算式。[指“24÷2=12”]在這裡，哪個數是哪個數的倍數？哪個數是哪個數的約數？
生：24是2的倍數，2是24的約數。
師：[指“8÷4=2”]在這個算式裡呢？
生：8是4的倍數，4是8的約數。
師：我們再來看這個算式。[指“0.8÷0.4=2”]能不能說0.8是0.4的倍數，0.4是0.8的約數呢？
生：不能。因為除數和被除數都是小數。
師：也就是說，0.8÷0.4=2這個算式不是整除，所以不能說0.8是0.4的倍數或0.4是0.8的約數。我們說一個數是另一個數的倍數或約數時，有一個前提，那就是要能夠整除。現在你們能不能自己舉出一些例子來說明倍數和約數？生(1)：6÷3=2。6是3的倍數，2是6的……3是6的約數。
師：6是3的倍數，3是6的約數。他剛才還想說2是6的約數。大家想一想，2是不是6的約數？
生：是的。
師：因為6÷2=3，所以2也是6的約數。現在請哪個同學再來舉幾個例子。生(2)：60÷5=12，60是5的倍數，5是60的約數。
生(3)：24÷8=3，24是8的倍數，8是24的約數。
師：現在請大家想想：什麼叫做約數？什麼叫做倍數？生(1)：在整除的情況下，被除數是除數的倍數，除數是被除數的約數。生(2)：a能被b整除，a是b的倍數，b是a的約數。
師：現在請大家把課本翻到第32頁，看看書上是怎樣說的，然後再把它們讀一遍。
生：[齊]如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
師：[出示小黑板]請看下面的說法對不對。第一句是“21是7的倍數，7是21的約數。”這句話對不對？
生：[齊]對。
師：再看第二句：“6是6的倍數，6也是6的約數。”這句話對不對。
生：這句話是對的。
師：為什麼？
生：因為6÷6=1，6能被6整除，所以6是6的倍數，6也是6的約數。
師：再看這一句：“20是倍數，10是約數。”這種說法對不對？
生：不對。因為它只告訴我們：“20是倍數，10是約數。”沒有告訴我們20是哪個數的倍數，10是哪個數的約數。
師：是的。光說一個數是倍數或一個數是約數，這種說法是很不清楚的。20是4的倍數，20是40的約數。所以今後在說約數或倍數的時候，一定要說清楚哪個數是哪個數的倍數，哪個數是哪個數的約數。[繼續出示小黑板，讓學生判斷各組數中，哪個數是另一個數的約數，哪個數是另一個數的倍數]第一組：72和8。
生：72是8的倍數，8是72的約數。
師：第二組：140和20。
生：140是20的倍數，20是140的約數。
師：第三組：35和105。
生：105是35的倍數，35是105的約數。
師：第四組：50和1000。
生：1000是50的倍數，50是1000的約數。
師：說得很好。現在我們要學習尋找約數的方法。比如，要找15的約數有哪幾個，24的約數有哪幾個。[出示例1]要找15的約數有哪幾個，可以這樣想：15分別能被哪些數整除？可以從最小的數找起。你們找一找。
生(1)：15能被1整除。[教師板書：1]
生(2)：15能被3整除。[教師板書：3]
生(3)：15能被5整除。[教師板書：5]
生(4)：15能被15整除。[教師板書：15]
師：15除了能被這4個數整除以外，還能不能被其他什麼數整除？
生：[齊]沒有了。
師：這就是說，15只能被1、3、5、15這四個數整除。那我們就說，15的約數有1、3、5、15四個。[在1、3、5、15前板書：“15的約數有：”]會找一個數的約數了嗎？用這種方法找一找，24的約數有哪幾個？從小到大開始去找。
生(1)：24的約數有1、2、3、4、6、8、24。[教師板書：l、2、3、4、6、8、24]
生(2)：還有12。[教師在“8”和“24”之間板書“12”]
師：剛才我們用除的方法來找15和24的約數。用這種方法去找約數，比較慢。如果一個數的約數比較多的話，就容易把其中的某些約數漏掉，像剛才那位同學找24的約數就漏掉了12。
請同學們想想，能不能找出一種既快又不容易漏掉的好方法？
生：可以一對一對地找。例如用24除以1，就得到24。
師：這就是說，在整除的情況下，除數和商都是被除數的約數，這實際上就是用乘的方法去找。比如15，想幾和幾相乘得15，1×15=15，3×5=15，就得到15的約數有1、15、3、5。[在15的約數旁邊板書：]下面請同學們用這種方法找100的約數有哪幾個。
生(1)：1和100，2和50，4和25，5和20。
生(2)：還有10和10。
[教師先後板書：]
師：最後找的兩個因數都是10，我們寫約數時只寫一個10。
師：請同學們再看一看，這些數的約數有沒有全部找出來？
生：[齊]全部找出來了。
師：從剛才找約數的過程中，你發現了什麼？[略等片刻]最小的約數都是幾？最大的約數都是什麼樣的數？
生：最小的約數都是1。15的約數中最大的是15，24的約數中最大的是24，100的約數中最大的是100。
師：這就是說，在一個數的所有約數中，最小的約數是1，最大的約數是它的本身。因為一個數的約數不會小於1，也不會大於它的本身，所以一個數的約數的個數是有限的。[出示小黑板]下面請同學們看一看這些說法對不對？應該怎樣說才對？
師：[讀題]42的約數有2、3、6、7、14、21。
生：錯的。42的約數還有1和42。
師：這句話錯就錯在少了42最小的約數1和42最大的'約數42。我們在尋找一個數的約數的時候，很容易會把最小的約數1和最大的約數——即這個數的本身給忘了。請大家要注意。再看下面一句：“25的約數有1、5、5、25。”這句話對不對？
生：這句話也是錯的。應該說，25的約數有1、5、25。
師：這句話裡多了一個5，就重複了。下面請哪個同學說說，10的約數有哪幾個？
生：10的約數有1、2、5、10。
師：13的約數呢？
生：13的約數有1和13。
師：36的約數呢？
生(1)：36的約數有1、2、3、6、8、12、24、36。
師：他說得對不對？
生(2)：他說錯了。應該是，36的約數有1、36；2、18；3、12；4、9；6。
師：對。一對一對找一個數的約數就不容易發生錯誤。現在再來學習尋找倍數的方法。[出示例2]2的倍數有哪些？3的倍數有哪些？要找一個數的倍數，可以這樣來想：這個數的1倍是多少，2倍是多少，3信是多少，依此類推。現在大家先來找2的倍數。
生：有2、4、6、8、10，等等。[教師板書：2、4、6、8、10]
師：還有多少？能把它們全部寫下來嗎？
生：還有很多很多，不能全部寫下來。
師：那我們就在後面用省略號表示。[在“10”的後面板書：……]讀的時候，這裡的省略號可以讀成“等等”。現在再來看3的倍數。
生：3的倍數有3、6、9、12，等等。[教師板書：3、6、9、12、……]
師：為什麼前面找約數的時候，最後用句號表示。而在這裡找倍數時，後面用省略號來表示？
生：因為15、24和100的約數全找出來了，而2和3的倍數還沒有寫完。
師：一個數的約數的個數是有限的，全都找出來了，最後就用句號表示。而一個數的倍數的個數是無限的，不可能全部找出來，所以後面用省略號來表示。現在來看看，一個數的最小的倍數是什麼樣的數？
生：一個數最小的倍數是它本身。
師：有沒有最大的倍數呢？
生：沒有。
師：為什麼？
生：因為自然數是無限的。
師：因為自然數的個數是無限的，所以一個數的倍數的個數也是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。[出示小黑板]看看下面的說法對不對？把不對的地方改過來。先看第一句：5的倍數有10、15、20、25，等等。
生：倍數里少個5。應該說，5的倍數有5、10、15、20、25，等等。
師：對。再看下面一句：6的倍數有6、12、24、48，等等。
生：這一句也錯的。在12和24中間，少了個18。
師：對。48後面用了省略號，表示48後面還有很多6的倍數沒寫出來；48前面沒有省略號，在48前面6的倍數就要一個不漏地按順序寫出來。再看第三句：7的倍數有7、14、21、28。
生：錯的。在28後面不應該用句號，應該用省略號。
師：請看第四句：10以內3的倍數有3、6、9。
生：這一句是對的。
師：這裡用了句號也是對的嗎？為什麼？
生：是對的，因為10以內3的倍數到9就為止了。
師：很好。因為題目限制了是10以內的。10以內的3的倍數只有3個，所以在最後用了句號。現在請同學們分別說出10、13、36的倍數有哪些，可以按從小到大的順序先說出5個，後面再用“等等”表示。
生(1)：10的倍數有10、20、30、40、50，等等。
生(2)：13的倍數有13、26、39、52、65，等等。
生(3)：36的倍數有36、72、108、144、180，等等。
師：剛才我們找出一個數的約數和倍數，都是用文字敘述表達出來的。除了用文字敘述表達外，還可以用圖來表示。現在請大家把課本翻到第32頁，看例1、例2下面的圖，這就是用圖來表示一個數的約數或倍數的。這種方法是，先畫一個圈，圈的上面註明是哪個數的約數或倍數，然後把這個數的約數或倍數填在這個圈裡。填寫時，數和數之間要空開一點，不能緊挨在一起。在表示倍數的圖裡，還有許多倍數不可能全寫出來，就在最後用省略號表示。現在請把課本翻到第33頁，請大家用剛才講的方法，把18的約數、20以內4的倍數和15的倍數，分別填在第6題的三個圈裡。
[指名三人分別填在小黑板上，其他學生填在書上。填好後，出示小黑板進行評講。然後引導學生閱讀課文，齊讀第32頁的第一節和例1、例2後面的結論]
師：大家還有什麼問題嗎？如果沒有問題了，有兩道題請大家回答一下。先看課本第34頁的第7題。說一說，在下面的數中，哪些是60的約數，哪些是6的倍數？
生：[看課本回答]3、4、12、60是60的約數；12、24、60是6的倍數。
師：[出示小黑板]在下面的幾個數中，哪個數是哪個數的約數？哪個數是哪個數的倍數？
生(1)：4是4、8、12、24的約數。
生(2)：4還是36、60的約數。
生(3)：36是4、6、12的倍數。
生(4)：36也是36的倍數。
生(5)：12是4、6、12的倍數，12是12、24、36、60的約數。
……
師：透過這堂課的學習，我們懂得了什麼？
生(1)：我懂得了什麼叫做約數，什麼叫做倍數。
生(2)：我懂得了一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的約數是它本身。
生(3)：我還懂得了一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身。
生(4)：我還學會了找一個數的約數和倍數的方法。
師：好。回去以後把這部分課文再看看，並把第34頁的第8題做在自己的本子上。
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