高中函式基本性質知識點總結
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知識點概述
關於函式的基本性質的知識點是一個系統的知識體系,需要重點掌握.
知識點總結
1.函式的有關概念
函式的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函式.記作： y=f(x)，xA.其中，x叫做自變數，x的取值範圍A叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合{f(x) xA }叫做函式的值域.
注意：如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合; 函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.
2.定義域補充
能使函式式有意義的實數 x 的集合稱為函式的定義域，求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1) 分式的分母不等於零;
(2) 偶次方根的被開方數不小於零;
(3) 對數式的真數必須大於零;
(4) 指數、對數式的底必須大於零且不等於 1.
(5) 如果函式是由一些基本函式透過四則運算結合而成的 . 那麼，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 .
(6)指數為零底不可以等於零
構成函式的三要素：定義域、對應關係和值域
再注意：
(1)構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域.由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等(或為同一函式)
(2)兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關。相同函式的判斷方法：①表示式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)
值域補充
( 1 )、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域 .
( 2 ) . 應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎 .
( 3 ) . 求函式值域的常用方法有：直接法、反函式法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等 .
3. 函式圖象知識歸納
(1) 定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x A)中的 x 為橫座標，函式值 y 為縱座標的點 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函式 y=f(x),(x A)的圖象.
C 上每一點的座標 (x ， y) 均滿足函式關係 y=f(x) ，反過來，以滿足 y=f(x) 的每一組有序實數對 x 、 y 為座標的點 (x ， y) ，均在 C 上 . 即記為 C={ P(x,y) y= f(x) , x A }
圖象 C 一般的是一條光滑的連續曲線 ( 或直線 ), 也可能是由與任意平行與 Y 軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成 .
(2) 畫法
A、描點法：根據函式解析式和定義域，求出 x,y 的一些對應值並列表，以 (x,y) 為座標在座標系內描出相應的點 P(x, y) ，最後用平滑的曲線將這些點連線起來 .
B、圖象變換法(請參考必修4三角函式)
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3) 作用：
1 、直觀的看出函式的性質;
2 、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發現解題中的錯誤。
4.快去了解區間的概念
(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間;
(2)無窮區間;
(3)區間的數軸表示.
5.什麼叫做對映
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的'對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個對映。記作f：A B
給定一個集合A到B的對映，如果aA,bB.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函式是一種特殊的對映，對映是一種特殊的對應，
①集合A、B及對應法則f是確定的;
②對應法則有方向性，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關係一般是不同的;
③對於對映f：AB來說，則應滿足：
(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的;
(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;
Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
常用的函式表示法及各自的優點：
函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函式圖象的依據;
解析法：必須註明函式的定義域;
圖象法：描點法作圖要注意：確定函式的定義域;化簡函式的解析式;觀察函式的特徵;
列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵.
注意啊：解析法：便於算出函式值。列表法：便於查出函式值。圖象法：便於量出函式值
補充一：分段函式 (參見課本P24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函式值幾種不同的表示式並用一個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況.
(1)分段函式是一個函式，不要把它誤認為是幾個函式;
(2)分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集.
補充二：複合函式
如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(xA),則 y=f[g(x)]=F(x)，(xA) 稱為f、g的複合函式。
常見考點考法
關於值域 定義域的考核是重點
拓展：
一、函式自身的對稱性探究
定理1.函式 y = f (x)的影象關於點A (a ,b)對稱的充要條件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f (x)影象上任一點，∵點P( x ,y)關於點A (a ,b)的對稱點P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)影象上，∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。
（充分性）設點P(x0,y0)是y = f (x)影象上任一點，則y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故點P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 影象上，而點P與點P'關於點A (a ,b)對稱，充分性得徵。
推論：函式 y = f (x)的影象關於原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函式 y = f (x)的影象關於直線x = a對稱的充要條件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （證明留給讀者）
推論：函式 y = f (x)的影象關於y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函式y = f (x) 影象同時關於點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是週期函式，且2 a－b是其一個週期。
②若函式y = f (x) 影象同時關於直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是週期函式，且2 a－b是其一個週期。
③若函式y = f (x)影象既關於點A (a ,c) 成中心對稱又關於直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是週期函式，且4 a－b是其一個週期。
①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
∵函式y = f (x)影象既關於點A (a ,c) 成中心對稱，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函式y = f (x)影象直線x =b成軸對稱，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是週期函式，且4 a－b是其一個週期。
二、不同函式對稱性的探究
定理4. 函式y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的影象關於點A (a ,b)成中心對稱。
定理5. ①函式y = f (x)與y = f (2a－x)的影象關於直線x = a成軸對稱。
②函式y = f (x)與a－x = f (a－y)的影象關於直線x +y = a成軸對稱。
③函式y = f (x)與x－a = f (y + a)的影象關於直線x－y = a成軸對稱。
定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③
設點P(x0 ,y0)是y = f (x)影象上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關於直線x－y = a的軸對稱點為P'（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點P'（x1， y1）在函式x－a = f (y + a)的影象上。
同理可證：函式x－a = f (y + a)的影象上任一點關於直線x－y = a的軸對稱點也在函式y = f (x)的影象上。故定理5中的③成立。
推論：函式y = f (x)的影象與x = f (y)的影象關於直線x = y 成軸對稱。
三、三角函式影象的對稱性列表
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有對稱中心座標應該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊（下）及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案（修訂版）中都認為y = tan x的所有對稱中心座標是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。
四、函式對稱性應用舉例
例1：定義在R上的非常數函式滿足：f (10+x)為偶函式，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）（第十二屆希望杯高二 第二試題）
(A)是偶函式，也是週期函式(B)是偶函式，但不是週期函式
(C)是奇函式，也是週期函式(D)是奇函式，但不是週期函式
解：∵f (10+x)為偶函式，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個週期的週期函式， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函式。
故選(A)
例2：設定義域為R的函式y = f (x)、y = g(x)都有反函式，並且f(x－1)和g-1(x－2)函式的影象關於直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那麼f(4)=（ ）。
（A）1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函式的影象關於直線y = x對稱，
∴y = g-1(x－2) 反函式是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函式是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,應選（C）
例3.設f(x)是定義在R上的偶函式，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，
f (x) = － x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）
解：∵f(x)是定義在R上的偶函式∴x = 0是y = f(x)對稱軸；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為週期的週期函式，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4.函式 y = sin (2x + )的影象的一條對稱軸的方程是（ ）(92全國高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =
解：函式 y = sin (2x + )的影象的所有對稱軸的方程是2x + = k +
∴x = － ,顯然取k = 1時的對稱軸方程是x = － 故選(A)
例5. 設f(x)是定義在R上的奇函式，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時，
f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5(B)－0.5(C) 1.5(D) －1.5
解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函式，∴點（0，0）是其對稱中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是週期為2的週期函式。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(B)
銳角三角函式公式
sin =的對邊 / 斜邊
cos =的鄰邊 / 斜邊
tan =的對邊 / 的鄰邊
cot =的鄰邊 / 的對邊
倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)
(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A))
三倍角公式
sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)
cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)
tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)
三倍角公式推導
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
輔助角公式
Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B
降冪公式
sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2
cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2
tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))
推導公式
tan+cot=2/sin2
tan-cot=-2cot2
1+cos2=2cos^2
1-cos2=2sin^2
1+sin=(sin/2+cos/2)^2
半形公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
兩角和差
cos(+)=coscos-sinsin
cos(-)=coscos+sinsin
sin()=sincoscossin
tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)
tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)
和差化積
sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]
sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]
cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]
cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
積化和差
sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2
coscos = [cos(+)+cos(-)]/2
sincos = [sin(+)+sin(-)]/2
cossin = [sin(+)-sin(-)]/2
誘導公式
sin(-) = -sin
cos(-) = cos
tan (a)=-tan
sin(/2-) = cos
cos(/2-) = sin
sin(/2+) = cos
cos(/2+) = -sin
sin() = sin
cos() = -cos
sin() = -sin
cos() = -cos
tanA= sinA/cosA
tan(/2+)=-cot
tan(/2-)=cot
tan()=-tan
tan()=tan
誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限
一、定義與定義式：
自變數x和因變數y有如下關係：
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函式。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函式。
即：y=kx（k為常數，k≠0）
二、一次函式的性質：
1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b（k為任意不為零的實數b取任何實數）
2.當x=0時，b為函式在y軸上的截距。
三、一次函式的影象及性質：
1．作法與圖形：透過如下3個步驟
（1）列表；
（2）描點；
（3）連線，可以作出一次函式的影象——一條直線。因此，作一次函式的影象只需知道2點，並連成直線即可。（通常找函式影象與x軸和y軸的交點）
2．性質：（1）在一次函式上的任意一點P（x,y），都滿足等式：y=kx+b.（2）一次函式與y軸交點的座標總是（0，b），與x軸總是交於（-b/k,0）正比例函式的影象總是過原點。
3．k,b與函式影象所在象限：
當k＞0時，直線必透過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k＜0時，直線必透過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當b＞0時，直線必透過一、二象限；
當b=0時，直線透過原點
當b＜0時，直線必透過三、四象限。
特別地，當b=O時，直線透過原點O（0，0）表示的是正比例函式的影象。
這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限
四、確定一次函式的表示式：
已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函式的表示式。
（1）設一次函式的表示式（也叫解析式）為y=kx+b.
（2）因為在一次函式上的任意一點P（x,y），都滿足等式y=kx+b.所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
（3）解這個二元一次方程，得到k,b的值。
（4）最後得到一次函式的表示式。
五、一次函式在生活中的應用：
1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函式。s=vt.
2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S.g=S-ft.
六、常用公式：（不全，希望有人補充）
1.求函式影象的k值：（y1-y2）/（x1-x2）
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：根號下（x1-x2）與（y1-y2）的平方和）
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