《函式性質的運用》數學教學案例分析
一、相關背景介紹
建構主義理論告訴我們，學習是學生在原有認知經驗基礎上主動建構新知識的過程。這一建構過程實際上需要學生將原有知識與新知識（包括思想、觀點、方法）進行有效組合與溝通。而學生知識、方法的遷移，水平、能力的提高均依賴於這個過程。從這個意義上說，數學學習實際上是指學生對數學現象的領悟和實質理解。抽象函式這部分內容，體現了數學的高度抽象性和簡潔性，近幾年高考幾乎每年都有類似的題目。由於它的提幹都是由抽象的數學符號給出，因此它對學生閱讀理解數學語言和符號的能力要求很高。對學生的思維能力是一個大的挑戰。
二、本節課教學目標
1 、知識與技能
① 使學生深刻理解函式的奇偶性、週期性、對稱性等性質。掌握代數變換的方法。
② 學會閱讀理解數學語言和符號，會綜合運用函式性質解題。
2 、過程與方法 透過讓學生經歷閱讀、理解、探索求解的過程，滲透化歸轉化的思想、數形結合的思想。尋求合理、有效的途徑，解決數學問題。
3 、情感、態度、價值觀 使學生領會數學的抽象性和嚴謹性，培養他們實事求是的科學態度，積極參與和勇於探索的精神。
4 、重點：綜合運用函式性質解題 難點：對文字語言、符號語言、圖形語言三種語言的理解和相互轉換。
三、設計理念
1 、首先透過複習函式的性質匯入，訓練學生對數學的文字語言、符號語言和圖形語言這三種語言的相互轉換
2 、例 1 的設計的意圖是： 加深學生對函式概念、性質的理解。教學生學會閱讀、理解數學語言、符號；學會文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化。透過一題多解、一題多思，滲透化歸轉化和數形結合的思想，以及代數變換的方法，培養他們的思維能力。課堂形式是：分組討論。
3 、例 2 的設計主要讓學生獨立思考解答 探求多種解法，思考、交流、表達，體現學生主體參與合作學習。 要求學生綜合運用函式性質解題，提高他們抽象思維能力，問題延伸思考，主要針對較好學生，讓他們課後繼續鑽研，提高分析問題、解決問題能力，也體現了分層教學的思想。
四、下面是課堂實錄《函式性質的運用》
師：前面我們已經分別複習了函式的奇偶性、單調性、對稱性及週期性等。今天我們學習函式性質的綜合運用。請先思考回答以下問題：
① 若函式 f （ x ）是奇函式，如何用符號表示？用圖形表示？
② 若給出圖形 請用文字語言敘述它的對稱性，用符號如何表示？
③ 若 f （ x+2 ） =f （ x ），你能有何結論？如何用文字語言敘述，用符號表示？
生 1 ： ① f （ -x ） =-f （ x ）
生 2 ： ② 函式 f （ x ）關於 x=1 對稱，即 f （ 1+x ） =f （ 1-x ）
生 3 ： ③ f （ x ）是週期函式，週期為 T=2 ，示意圖：
師：由 f （ x+2 ） =-f （ x ）你能說出什麼資訊？
生： f （ x ）的週期是 T=4
師：為什麼？能否用圖象解釋？
生：將式中的 x 用 x+2 來替代，得到： f （ x+4 ） =-f （ x+2 ） 又因為 -f （ x+2 ） =f （ x ），所以 f （ x+4 ） =f （ x ）即： T=4 但是不太用影象來解釋
師：提示： 從圖示看出 f （ x+4 ） =f （ x ）的週期為 4 。
總結：透過對函式的奇偶性、對稱性、週期性等性質的複習，我們要熟悉數學的文字語言，符號語言，圖形語言三種語言的轉換。 好，下面我們來看例 1
例 1 ：設 f （ x ）是（ -∞ ， +∞ ）上的奇函式， f （ x+2 ） =-f （ x ），當 0≤x≤1 時， f （ x ） =x ，則 f （ 7.5 ） =?
生 1 ：利用週期性 由 f （ x+2 ） =-f （ x ）可得到 f （ x+4 ） =f （ x ） 所以 f （ 7.5 ） =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5
生 2 ：直接利用 f （ x+2 ） =-f （ x ） f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5
師：還有其他方法嗎？ f （ x ）是奇函式且 f （ x+2 ） =-f （ x ），除了能說出週期 T=4 外，還能說出哪些資訊？（師提示）
生： f （ x+2 ） =-f （ x ） =f （ -x ） 而 f （ x+2 ） =f （ -x ）得到 f （ x ）關於直線 x=1 對稱
師：很好，你能否根據函式的對稱性、週期性及奇偶性，畫出它的圖象？從而利用圖象來解題呢？
生： 從圖中可以看出 f （ 7.5 ） =f(-0.5)=-0.5 師：我們在解題的過程中，應善於利用數形結合的思想方法，有時能收到意想不到的效果的。
師總結：
方法一：主要要求對符號的`深刻理解及獲取資訊
方法二：利用 f （ x+2 ） =-f （ x ），透過轉化達到解題的目的，滲透了轉化的思想
方法三：利用函式的幾何性質，透過作圖，利用數形結合的思想來解題。
下面我們來將這道題目進行變化：
變化 1 ：已知條件不變，問題變為當 x ∈ 時，求 f （ x ）的解析式
生 1 ：設 x ∈ 則 -x ∈ ∴ f （ -x ） =-x ，又 ∵ f （ -x ） =-f （ x ） ∴ f （ x ） =x ∴ 當 x ∈ 時， f （ x ） =x 師：能否總結一下解題步驟？
生 2 ：小結：首先要 “ 問啥設啥 ” ，不要把變數設錯了區間； 第二，把變數轉化到已知區間上去 最後，再利用函式的奇偶性、週期性求出 f （ x ）的解析式。
變化 2 ：當 -1≤x≤1 時， f （ x ）的解析式
生：由已知和變化 1 可知當 -1≤x≤1 時， f （ x ） =x 變化 3 ：當 x ∈ 時，求 f （ x ）的解析式
生：設 x ∈ ，則 x-4 ∈ ∴ f （ x-4 ） =x-4 ∵ T=4 ∴ f （ x ） =x-4 變化 4 ：當 x ∈ 時，求 f （ x ）的解析式
生：設 x ∈ ，則 x-2 ∈ ∴ f （ x-2 ） =x-2 ∵ T=4 ∴ f （ x-2 ） =f （ x+4-2 ） =f （ x+2 ） =-f （ x ） ∴ -f （ x ） =x-2 ∴ f （ x ） =2-x
師：小結：上面這四個變化訓練要求我們要掌握代數變換這種數學方法，體會化歸轉化的思想在解題過程中的運用。
例 2 ：定義在（ -∞ ， +∞ ）上的偶函式 y=f （ x ）滿足關係 f （ x+2 ） =-f （ x ）且 f （ x ）在區間 上是增函式，那麼以下結論正確的有 ① y=f （ x ）是週期函式 ② y=f （ x ）的圖象關於直線 x=2 對稱 ③ y=f （ x ）在區間 上是減函式 ④ f （ ） =f （ ）
生 1 ： ① f （ x ）是週期函式， T=4
師： ② 分析：要證明直線 x=2 是 y=f （ x ）圖象的對稱軸，只需要證明什麼關係式成立？
生：只需證 f （ 2-x ） =f （ 2+x ） 或證 f （ -x ） =f （ 4+x ） 或證 f （ x ） =f （ 4-x ）
師：那我們選擇證第三個等式 f （ x ） =f （ 4-x ）成立 生： ∵ f （ x ）的週期 T=4 ，且 f （ x ）是偶函式 ∴ f （ 4-x ） =f （ -x ） =f （ x ）即 f （ x ） =f （ 4-x ） ∴ y=f （ x ）圖象的對稱軸 x=2 ③ ：
生 1 ：有已知在區間 上， y=f （ x ）是增函式，由於 y=f （ x ）是偶函式，其圖象關於 y 軸對稱，那麼在 上 y=f （ x ）是減函式，又由於 y=f （ x ）圖象關於直線 x=2 對稱，所以 y=f （ x ）在區間 上是增函式 所以結論錯誤
生 2 ：也可以藉助於圖象（示意圖）證明 ③ 是錯誤的 ④ ：
生 3 ：由於 f （ x ）在區間 上是遞減的 ∴ f （ ） >f （ ） ∴ 結論錯誤
師：請同學們課後對問題進行延伸思考： 透過以上兩個例題，我們發現這樣一個結論： 如果 f （ x ）具備奇偶性，同時 f （ x ）的圖象還關於某條直線對稱，則 f （ x ）是週期函式，你認為這個結論成立嗎？請證明。
課堂總結：（師生共同完成） 要求對函式性質有深刻的理解及三種數學語言的理解轉化 掌握代表變換的方法，體會數形結合、化歸思想在解題過程中的應用 進一步培養學生的抽象思維能力 課堂檢測： 已知定義在 R 上的週期函式 y=f （ x ），週期 T=4 ，若 y=f （ x ）的圖象關於直線 x=2 成軸對稱圖形 求證： y=f （ x ）是偶函式
五、課後反思
這節課的教學環節，設計比較合理。特別是課前的複習匯入，加強學生對數學的文字語言、符號語言、圖形語言三種語言理解和相互轉換，為突破本節課的難點做了有益的鋪墊。 例 1 的三種解法和四種變化，從不同的角度和方面加深了學生對函式有關概念性質的理解，對數學語言閱讀能力的培養，同時對提高他們的抽象思維能力是極有好處的 學生課堂上的反映熱烈，積極參與，回答問題踴躍。特別是一些平時成績偏下的學生也積極發言，很想表現自己，渴望得到來勢和同學的認可。看來，如果平時也經常關注這部分學生，多給他們成功的機會，調動他們參與課堂的積極性，那麼他們一定回願意學，樂於學，學好的 從課堂小測反饋的情況看，有少數學生對這部分內容的掌握還有困難，不會閱讀，理解數學符號，因此運用起來感到比較困難，無從下手解題，因此對這部分學生還得加強課後的輔導督促其落實 課堂上程式基本上是老師設計安排好的，沒有讓學生髮現問題、提出問題，從而解決問題，這對培養學生的創新意識和能力是有礙的，這也是本人感到困惑的地方，在高三的複習時間緊迫的情況下，在課堂上，如何既讓學生有一定的時間體會探索，發散思維，甚至充分暴露思維的錯誤，又能按時完成課時進度，落實各個知識點，不影響應試考試的成績。這實在是太難了啊！
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