關於小學數學《數學廣角 排隊問題》課堂實錄
關於小學數學《數學廣角 排隊問題》課堂實錄
執教：沙面小學
文字錄入：同福中路第一小學
課前談話
師：同學們，剛才我聽你們背了一首詩，是什麼時候學的呢？
生：四年級
師：看來你們對四年級該掌握的知識真的還掌握的不錯。我們是第一次見面，剛剛才見面，但是你們的笑容告訴我，你們是歡迎我的，是嗎？
生：是？
師：謝謝。剛才我把一張紙發了下去，先把它壓在書下面，我們稍後統一再用。今天我們在這裡上課，由於空間比較大，所以等一下同學們回答問題的時候，可能需要用到麥克風，麥克風在中間那一排同學那裡，大家看看。麻煩中間六位同學在等一下上課的時候手勤快一些。當我點到某一個同學回答問題，請很快地把麥克風遞給他。還有，我們來上數學課，你覺得數學課最重要的一點，上課要怎麼樣？
生：認真聽。
師：呦，數學可不是聽來的，
生：積極發言、思考……
師：說得真好。我們要把數學學好，必須要——思考！對！要不要聽？要不要說？但更重要的是什麼？
生：思考。
師：更重要的是思考。等一下看看我們班的同學積極思考，舉手發言，給我的印象就真好。你願意做前面的還是願意做後面？
生：前面的！
師：這個同學反應很快，看來他真的要做前面的。還有一點大家回答問題不要害怕，我們第一次見面就當做是交個朋友。好不好？
生：好！
師：那下面我們要準備開始上課了，行嗎？
生：行！
教學過程
師：同學們愛聽故事嗎？
生：愛！
師：我來講個故事，這個故事就發生在我們學校。（邊講故事邊播放課件）前幾天放學後，四年一班和四年二班的值日生接到一個緊急任務。請看螢幕。要四年一班和四年二班的值日生在20分鐘內把桌椅、地板用水擦乾淨，把花澆好。只有20分鐘的時間，但是這個時侯已經放學了，每個班裡只剩下3個值日生。他們馬上分工合作，忙得不亦樂乎。20分鐘過去了，四年二班順利完成任務，但是四年一班因為時間不夠，完成不了。後來級長來了解原因，發現兩個班的值日生都做得非常認真，他們的工作程式和工作分工都是一樣的。因為擦桌椅、地板，澆花都要用到水，而在課室的不遠處，就有兩個水龍頭，剛好每班一個。所以他們第一步都是三個值日生一起先到水龍頭處拿水，把水打回來後，分工合作，然後誰先做完了就幫沒做完的同學。程式一樣，分工一樣，到底什麼地方不同，導致最後四年二班順利完成任務，但是四年一班卻不行呢？問題原來就出在用水龍頭打水這個環節上。同學們，打水可是需要時間的，每個人只有多少分鐘？
生：20分鐘。
師：打水的時間長了，搞衛生的時間就短了。你看，第一個大水桶打水的時間是5分鐘。中水桶？
生：3分鐘。
師：小水桶？
生：1分鐘。
師：那你猜，四年一班和四年二班在打水的時候，他們的安排有什麼不同呢？思考一下。
生： （安靜思考）
師：都是這樣子打水，都是一起到那裡打水，原來他們在打水時，水桶的排序不一樣，排隊的順序不一樣。怎麼了？這些水桶哪些水桶先，哪些水桶後，花的時間不是一樣的嗎？一樣嗎？
生：不一樣。
師：難道排隊的順序也會影響工作的結果嗎？
生：會。
師：對！真的會！所以今天，我們就站在數學的角度去研究一下排隊的問題。今天，我們學習的是什麼？
生：數學廣角！
師：我們來學習的是數學廣角。（板書課題）
師：現在猜一猜，你說四年一班是怎麼排這些水桶的順序？猜一猜，他贏了，他是怎麼排這些順序的？
生：我想他們是先用最小的水桶先打水，然後再是中水桶，再用大水桶打。
師：也就是說，按照“小—中—大”這樣的順序來排。（在黑板的表格上填寫）這是這個同學的猜想。小水桶打水是幾分鐘？
生：1分鐘。
師：中水桶？
生：3分鐘。
師：大水桶？
生：五分鐘。
師：好，還有其他猜想嗎？四年二班贏了，他是按什麼樣的順序？
生：我猜他是先叫中水桶，再小水桶，再大水桶。
師：按照“中—小—大”這樣的順序來排。（在黑板的表格上填寫）還有沒有別的猜想？
生：我猜他們可能是5分鐘大水桶先，接著中水桶，然後小水桶。
師：按照“大—中—小”這樣的順序來做的。（在黑板的表格上填寫）看來還有不同的'意見？也就是，我們的排序止不止這3種？
生：不止。
師：我們還有其他的排序，是吧？
生：是。
師：但到底那一種順序才是最快的順序呢？我們先不急，我們先把這些水桶排隊的順序先列舉出來。這是我們以前學過的知識。會嗎？
生：會。
師：拿出你們的練習紙，馬上列一列，同位兩個同學互相合作。
生：（在練習紙上列順序）（00：13：09——00：15：00）
師：列舉完的請舉手。還有哪些順序？你做到不重複，不遺漏了嗎？做完的邊舉手邊檢查。請個同學說說，這些水桶排隊有哪些順序呢？（生邊彙報師邊板書）
生：“小—中—大”
師：已經有了，說說沒有的。
生： “小—大—中”
師：你把它放在哪裡？第幾欄？
生：最後。
師：最後？想想老師為什麼會問你這個問題。然後？
生：“大—小—中”
師：寫在哪裡？
生：第四欄。
師：這一欄還是這一欄？
生：第四……第五……
師：你說一說，你的順序是什麼？
生：“小—中—大”
師：“小—中—大”已經有了，“小—大—中”也已經有了。想想，（指板書）老師為什麼要這樣排列？找到方法規律了嗎？
生：“大—小—中”
師：在哪裡？
生：第二個。
師：“大—小—中”
生：“中—大—小”
師：完了嗎？都列舉完了嗎？沒有重複沒有遺漏嗎？
生：沒有。
師：為什麼你這麼確定？有什麼方法？
生：先把“大”先排出了，再排兩個“中”，再排兩個“小”開頭的。
師：聽懂他的話了嗎？
生：聽懂。
師：也就是我們在排隊的時候，如果我們按照順序來排的話，才會做到不重複不遺漏。奇怪了，其實無論怎麼排，打水的時間是不是一樣的？
生：不是…是…
師：為什麼是一樣的？你來說說。
生：因為每5分鐘打水、3分鐘打水、1分鐘打水加起來都是一樣的數。
師：都是多少？
生：9
師：都是9分鐘。恩，這是他的見解。無論怎麼排都是5+3+1=9。有什麼區別呢？下面我們來看看有什麼區別。好，我們來看看，我們來算一算，這三個人，他們打水的時間總和是不是一樣的？我們來看看，他們的打水時間：大水桶幾分鐘？
生：5分鐘。
師：中水桶呢？
生：3分鐘。
師：小水桶呢？
生：1分鐘。
師：那第一個人用了……？
生：5分鐘。
師：第二個人呢？
生：3分鐘。
師：別忘了，他不等啊？他不等前一個人嗎？
生：8分鐘。
師：為什麼是8分鐘？唉，反應過來了，我說就不一樣嘛。
生：因為第1個人已經用了5分鐘，第二個人用了3分鐘，然後5分鐘加3分鐘就等於8分鐘。
師：前面的5分鐘是幹嘛的？
生：前面的5分鐘是打大水桶的。
師：也就是說第二個人到底用了幾分鐘？
生：8分鐘……3分鐘……
師：8分鐘還是3分鐘？
生：8分鐘。
師：怎麼是8分鐘？明明是3分鐘？同位說說，明明是3分鐘，為什麼是8分鐘？
生：（同位討論）
師：有答案了嗎？
生：有！
師：那一起告訴我，為什麼是8分鐘？
生：因為……
師：用個算式來告訴我行不行？
生：5+3=8
師：對呀。前一個人打水，後一個人還得要等啊。第三個人要用多少分鐘？好，一起說！
生：9分鐘。
師：怎麼算出來的？
生：5+3+1=9
師：對，如果按這樣的排序，第一人用了5分鐘，第二人用了（5+3）分鐘，第三個人用了（5+3+1）分鐘，三個人打水一共用了多少分鐘？
生：9分鐘。
師：（作無奈狀）第一人用了5分鐘，第二人用了（5+3）分鐘，第三個人用了（5+3+1）分鐘，三個人打水一共用了多少分鐘？你看看一些舉手的同學，他們算得多快呀。好，你來。
生：一共用了20分鐘。
師：好，你來補充。
生：一共用了22分鐘。
師：好，請坐。我們一起來算算看看是不是。用了幾個5分鐘？
生：3個。
師：用了3個5分鐘。繼續說。
生：2個3分鐘。
師：真行。2個3分鐘，用了……1個1分鐘。好，我們來算算，這是15，這是6，這是1，多少？
生：22
師：用了22分鐘。三個人一共用了22分鐘來打水。那他們搞衛生……？
生：沒時間了。
師：有，怎麼沒時間呢？他們搞衛生用了多少時間？第一個人有多少分鐘？
生：5分鐘。
師：有多少分鐘搞衛生？
生：15分鐘。
師：對，有15分鐘搞衛生。第二個人？
生：12分鐘。
師：算得快！第三個人？
生：11分鐘。
師：有11分鐘搞衛生。一共搞衛生用了多少時間？
生：38分鐘。
師：用了38分鐘。除了這樣的演算法，還有沒有更快的演算法？1個人有20分鐘，3個人有？打水就用了？
生：22分鐘。
師：所以他這裡用來多少分鐘？怎麼列式？
生：20×60
師：20×3就是60，一共用了60分鐘，減去？
生：減去22分鐘
師：等於？
生：等於38分鐘。
師：他跟我一樣，都是近視，我能理解他，離得遠看不清。你看，有兩種演算法都能算出來是38。剛才我們算了大水桶、中水桶、小水桶這樣的順序，“大—中—小”。那麼我們再挑一個來算一算。你們剛才說花的時間是一樣的，現在我們來看一看，是不是真的一樣。一起來算，如果按照“大—小—中”，那是5分鐘……
生：1分鐘，3分鐘。
師：第一人5分鐘。
生：第二人（5+1）分鐘。
師：第三人？
生：（5+1+3）分鐘。
師：那總和是多少分鐘？搞衛生的時間又是多少分鐘？你會算嗎？能不能？
生：能？
師：接著下來這些你都能算嗎？我們同位合作，看看那個同學合作得好，抓緊時間把它算出來。
生：（學生計算）
師：有些同學一個在寫一個在算，這樣就快了。
生：（學生計算）
師：好，請把筆放下。來，我們一起看。剛才有的同學合作得非常好，一個算上一題，一個算下一題，這叫節省時間。今天我們研究的也是有關合作的問題啊。好，我們一起來看一看，剛才算的這一個 大中小桶 最後這個時間是多少？
生：……
師：幾個5？
生：3個5
師：繼續說？
生：2個1
師：反應很快，繼續……
生：1個3
師：15+2+3等於28分鐘。所以搞衛生用了……
生：……
師：怎麼沒聲音呀？哦，原來是之前我寫錯了。難怪，我就說怎麼都沒聲音的呢。15+2+3=20才對。好，繼續，60-20=40分鐘。好，接著，中小大的順序，能不能反應快一些呢？好，我們一起來。
生：……
師：幾個3？請看！！三個3！幾個1？
生：兩個1，一個5。
師：3*3+2*1+5*1=？
生：16
師：接著……
生：60-16=44
師：好，接著，這裡……
生：這裡是3，這裡是3+5，這裡是3+5+1
師：猜，我為什麼不寫這一個。我不寫這一個我都能列這個算式。板書 3 3+5 3+5+1
這裡是幾個3？
生：三個3。
師：三個3，兩個5，加一個1，等於……？
生：……
師：不要在誤導我。到底是多少？
生：20
師：搞衛生的時間是60-20=40分鐘，好，繼續！這裡是……
生：1 1+5 1+5+3
師：幾個1？
生：三個1。兩個5，加一個3。
師：等於……
生：16
師：等於16。
生：60-16=44分鐘。
師：我都覺得煩了。幹嘛寫這個呢？我不寫這個能寫這個嗎？
生：能！
師：怎麼樣？三個1，兩個3，一個5（列式）等於……？
生：16……14……
師：14
生：60-14=46
師：我們知道，不同的排序，打水的時間一樣嗎？
生：不一樣。
師：搞衛生的時間就不一樣。你猜，四年2班贏了，他用的是哪種的排列順序呢？
生：……
師：剛才誰猜對呢？都沒有人舉手。好現在一起手，是哪一種排列順序？
生：第6種。
師：也就是說，四年2班用的是第6種的順序。對了，四年1班輸在哪裡呢？他們用了第一鐘的順序。用第一種的順序跟用了第六種的順序，最大的區別在哪裡？我們一起來觀察一下這些算式……我們一起來看螢幕。（螢幕顯示條形圖）如果我們按照小中大的順序來排的話，我們發現，3個人都是有20分鐘。但第一個人打水1分鐘，搞衛生19分鐘。第二個人打水4分鐘，搞衛生16分鐘。第三個人打水9分鐘，搞衛生就用了11分鐘。所以，如果按照小中大這樣的順序來排的話，用了14分鐘打水，用了46分鐘搞衛生。這就是四年2班的順序。而四年1班他們採用的是……剛好反過來，大中小的順序。都有20分鐘，第一個人用了5分鐘，第二個人用了8分鐘，還剩下12分鐘。三個人用了9分鐘，還剩下11分鐘。所以他打水用了22分鐘，搞衛生用了38分鐘。贏的策略跟輸的策略。搞衛生的時間就相差了多少分鐘？
生：相差了8分鐘。
師：相差了8分鐘。就是因為這8分鐘，四年1班輸了，四年2班贏了。看看，剛才同學們說打水，不管那桶怎麼排，都是用了9分鐘。這句話只對了一半。是誰用了9分鐘？
生：最後一人。
師：是最後一人用了9分鐘，但是他們前面的同學用的時間一樣嗎？
生：不一樣。
師：不一樣！所以，現在想想，如果我要節省這些打水的時間……這是不是打水的時間啊？是打水的時間嗎？那他為什麼這裡用了5分鐘，這裡用了8分鐘呢？前面的5分鐘是用來幹嘛的？
生：等第一個。
師：等第一個，也就說他把時間花在了等前面人的身上。所以，想想，這是不是打水的時間？是什麼時間？
生：等待的時間。
師：對。這根本就不是打水的時間，其實他是把時間花在了等這裡。是等候的時間。而真正用來搞衛生的時間是後面的這一半。那現在，你想想，如果要贏的話，應該按怎麼樣的排序才能贏呢？把什麼放在前面？把什麼放在後面？同位兩個商量一下。
生：（學生討論）
師：好，誰來說一說？這個小男孩來說。
生：先把小中大放在第一個。
師：也就是說，把什麼排在第一，把什麼排在第二，把什麼排在第三？
生：把小的放在……
師：什麼小？
生：把小桶……
師：實際上就是什麼少？
生：時間。
師：把時間少的放在前面。然後呢？
生：把時間中的防在第二個，最後把時間久的防在第三個。
師：這樣做有什麼好處啊。
生：可以節省時間。
師：怎麼會節省？誰來幫他補充？
生：就可以等候的時間少一點。
師：對。不用等前面的人等得那麼久。對，你看，這就是合作操作。我們在合作工作的時候，排隊的順序，往往會影響工作效率。當然誰都不希望久等，但是在合作的時候，如果我們合理地排列這些順序，我們就可以使等的時間少一點……
生：搞衛生的時間就多一點。
師：搞衛生有這樣的規律，那麼其他的問題上都是等候，會不會也有這樣的規律呢？好，我們來看一看。北江又在堵船了，幹嘛回家堵船的？這些船啊，原來都在等候卸貨。但是碼頭只有3個船位，是可以讓輪船靠近去的，而這些船的貨物還得一船一船的卸貨。有的船貨多，瀉貨的時間就長。有的船貨物少，瀉貨的時間越短。現在我想解決這個河道堵塞的問題。如果你就是這個排程員，怎樣安排——預備起！一起讀。
生：……
師：猜到了嗎？那個女同學很想回答。讓她回答。
生：先讓那些小的船先卸貨，然後是中的船，最後大的船。這樣，等候的時間就花得越少。
師：你是這樣猜的，還有其他的猜想嗎？你說，你猜。
生：我猜先是小的船靠近，然後是大的船，然後是中船。
師：小的、大的、中的，是吧？好，下面我們就來研究一下。我想問一問，你的猜想跟剛才那個女同學接近的請舉手。
生：（學生舉手）
師：跟剛才那個男同學一樣的請舉手。
生：（學生舉手）
師：好，請放下手。那麼我們來看看，是不是真的是這樣。船太多的，我們就按這位同學所說的，把它看作是一隻貨物小的船，一隻貨物中等的船，一隻貨物比較多的船，我們一起來研究一下看看。這裡有三艘船，這一艘船需要……1小時。另一艘船需要4小時，第三艘船需要8小時。我們就把它叫做小船、中船和大船。好，我們來看看，這裡有句話是怎麼說的？
生：只能一船一船地卸貨。
師：有什麼問題？
生：要使三艘貨船的等候時間最少，應該按怎樣的順序卸貨？
師：想一想，我們準備怎樣解決？剛才你們猜想，剛才那個女同學的猜想是小——中——大，那個男同學的猜想是小——大——中。好，這樣，我們把這張紙翻到後面，請在第一欄寫出你猜想的順序。你們先別忙，我還沒說完呢。第一欄寫出你猜想的順序，然後再算它的時間。然後，你再隨便列一種順序，也算算它的等候時間，看看你的猜想對不對。行不行？
生：行。
師：好，開始做。……（巡視）看來剛才還有同學沒聽懂，第一欄是你的最佳方案，第二欄是對比的方案。明白了嗎，就兩個方案就行了。
生：（學生討論，計算）
師：好，請第一個同學。做完了請舉手。（拿了兩個同學的練習紙到實物投影）。好，有答案的同學請坐好。好，這個同學，他的最佳方案是小——中——大，他的等候總時間是19分鐘。然後，他的對比方案是小——大——中。他的等候時間是23分鐘。他透過這樣一對比，確實是第一方案是最好的。有沒有其他的看法？剛才那位同學不是說小——大——中嗎？是不是？那你現在，你自己的認為呢？站起來說一說你的看法。
生：我認為是先小後大再中。
師：現在你還堅持這樣的看法嗎？
生：不堅持。
師：不堅持了，那你現在認為呢？
生：我認為小——中——大。
師：其他同學，你們的看法如果有不同的，你可以舉手說出來。有沒有？你們都是認為按什麼的順序？
生：小——中——大
師：好，那我看看是不是。由於時間的問題，老師給你們把它全部算出來了。你看看，我是按照小——中——大 19分鐘，然後如果是大——中——小 就是23分鐘，那我想問你們，如果按照第一種做法，它的好處在哪裡？對於碼頭來說，按這樣的做法，按小——中——大的做法，它的好處在哪裡？好，你來說？
生：這樣的順序會比較快。
師：最後的那隻船還要等13分鐘。
生：那時間就比較長……比較少。
師：最後的那隻船還是要13分鐘啊，反正全部船卸完了，對於碼頭來說，它還是13分鐘。你來說？
生：這樣子的話，卸物的時間就比較短。
師：哦，卸物的時間就比較短。請坐。我們來看一看，如果按照這種方案的話，它在幾小時後就可以空出一個船位？
生：1小時後。
師：但如果按第一種方案，它得……8小時後才空出一個船位。你看，對於碼頭來說，1個小時後它就能再接納下一艘船。但是，如果用那一種方案，它得要8小時後才接納下一艘船，那一條江還得堵8個小時，對不對？你看，我們的排隊問題不但對合作有很大的作用，合理的排隊能節省時間，而且對於碼頭的排程，公共汽車啊，機場的排程，它也有非常重要的意義。所以呢現在有一門科學專門來研究排隊。好，今天我們學習了什麼？
生：數學廣角。
師：數學廣角學習了什麼？
生：排隊問題。
師：排隊時，我們怎樣安排時間，會使等候的時間短一些？等候的總時間短一些。怎樣安排？一起說。
生：小——中——大
師：按照時間少、時間中、時間大，從小到大這樣來排序。我們是怎麼把它研究出來的？先怎麼樣呀？
生：列舉。
師：列舉了所有的順序。接著……？
生：算。
師：算！非常好。接著我們去算。最後呢？
生：比較。
師：比較，選出最好的方法。這是我們研究問題時常常採用的方法。從很多個方案裡面透過計算選出最好的方案。好，這一節課，有收穫嗎？
生：有。
師：好，時間問題，如果你還有其他的想法，你可以下課再來告訴我，我們這一節課就先上到這裡。下課。同學們再見。
生：謝謝老師。
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