淺談數學的創新能改變人們的哲學觀念
哲學其實不神秘,不過是人們對世界的一些根本看法而已,每個人都有自己的哲學觀念,只是概括水平和系統性不同。這個世界的根本是物質還是精神?人怎樣才能認識世界?人活著的意義是什麼?數學的根本特點是什麼?數學新課程理念的根本依據是什麼?這些都是哲學性的問題。
人們的哲學觀念會隨著時代改變而改變——數學的創新則能推動這種改變,比如下面的幾個故事。
故事1:算術計算的法則不是絕對真理,會變。
古人認為算術計算的法則是絕對真理:古希臘的畢達哥拉斯相信“宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比”;偉大的古希臘哲學家和教育家柏拉圖則說“整個算術和計算……就是我們所追求的那種學問,……哲學家……必須是個算術家。……算術……迫使靈魂用抽象的數來進行推理,而厭棄在辯論中引入可見和可捉摸的物件”(克萊因《古今數學思想》第1冊第37頁和49-50頁);古中國人(也許還包括您)也有對數和算術的某種迷信,老子說“道生一,一生二,二生三,三生萬物”,以及對5的迷信(五行說)、對6的`迷信(六六大順)、對8的迷信(周易八卦)、對9的迷信(九九歸一)、對10的迷信(十全十美)……等等。
但這些的確是迷信,比如1+1吧,隨著數學創造的增加,其法則和計算結果就都在變:
最初人們只知道正數和零,於是1+1絕對等於2;後來創造了負數,1+1的結果就增加了一種,正1加負1等於零;再後來又創造了複數,於是又增加了一種新結果,往東走1公里再往南走1公里,合計是往東南方向走了√2公里;不久前還創造了集合運算(布林代數),1個非空集合加另1個非空集合(求並集)有有三種可能結果——等於2(並集元素是兩集合元素彙總)、等於1(並集元素就是其中某一集合的元素)、等於1點幾(並集元素是兩集合元素總體的一部分,重複的各元素只保留一個)……
可見:從哲學上說,沒什麼絕對真理,真理都是相對的;從數學教學上說,數學模型是多樣化的,應支援和鼓勵學生自主選擇。
故事2:那麼歐氏幾何是絕對真理嗎?
中小學幾何都屬於歐氏幾何,沒人不讚賞它的清晰、嚴謹,但它是絕對真理嗎?
古希臘歐幾里得創立的幾何體系權威性十足,後人(也許還包括您)對它極為崇拜,相信“數學定律和歐幾里得幾何一樣,是宇宙設計中所固有的”,“物質世界必然是歐幾里得式的”(《古今數學思想》第3冊第278頁)。
其實不然!歷史上一直有數學家懷疑歐氏幾何的絕對正確,尤其19世紀創立的非歐幾何更打破了對歐氏幾何的迷信:第一,羅巴切夫斯基和黎曼的另兩種非歐幾何體系同樣合理!第二,事實上歐氏幾何的適應面也不大——在地球上尤其是宇宙空間裡到處存在的曲面上都非得用非歐幾何不可!
可見:從一般哲學來說,沒什麼絕對真理,真理都是相對的;從數學哲學來說,數學其實就是一群方法(數學思想方法),只要能解決問題,學生喜歡用哪種就用哪種。
故事3:一定的原因必然導致一定的結果嗎?
數學頭幾千年的內容都是必然性數學,比如算術、代數和歐氏幾何,在給定的條件下,演算法確定、結果唯一。至今中小學數學的內容仍然絕大部分是這種必然性數學。
這種情形無疑會薰陶出古人的決定論觀念:一定的原因必然導致一定的結果——我估計今天絕大多數人仍持這種觀念。
其實歷史上早有許多學者懷疑決定論,而源起於16世紀的機率論(它超越了必然性數學而開闢了或然性數學)則極大支援了這種懷疑:看穿了的話,世界上的事情幾乎都不是必然性事件而是或然性事件——即使明白它的原因,其結果也有多種可能,只不過各自發生的機率不同。舉個最通俗的例子:太陽明早必然升起嗎?非也!用宇宙學的時間尺度來看,原本沒有什麼太陽和地球,而它們後來的生成則大含偶然性,遺傳學又告訴我們人類的形成也飽含偶然性,所以“您看見明天太陽照樣升起”這件事從宏觀上看還是個或然性事件——還何況說不定今晚就有一個超大隕石把地球撞沒了讓你再也看不到太陽了呢!
於是,今天的科學家、哲學家不得不接受“世界是或然性的”這一新觀念,不再迷信所謂的“必然規律”,而提出“統計規律”的新概念——任何“規律”的作用結果都有多種可能,各種可能的發生並非必然而只有一定的機率。
用這種哲學觀念來指導數學教學,我們就能更深刻地理解,為什麼新課標力主讓學生自主、探究和創造,而反對死記硬背定理、公式。
故事4:掌握了演繹論證思想方法就足以學好數學嗎?
古希臘人本來就有濃烈的理性精神,這催生了公理化的、用演繹論證一而貫之的歐氏幾何,歐氏幾何又反過來強化了他們的理性精神,促成了唯理論在西方哲學史上的長期統治地位。
理性精神強烈本沒錯,但過分了就會步入歧途——否定、排斥感性與直覺的力量。幸而20世紀的數學創新來了個糾偏。
20世紀數學最重大的研究是尋求整個數學的基礎,企圖為它建立一勞永逸的嚴密體系,而很多大數學家都主張建立公理化的、靠演繹邏輯維繫的體系。這一研究成就巨大,但最終卻失望了:德國數學家哥德爾證明,任何演繹邏輯系統,要麼不可能完整、要麼內部會出現自己證明不了的命題!
這意味著:第一,哲學上的唯理論有片面性,要真正認識複雜至極的世界,光靠理性不夠,還要靠感性;第二,數學不能只靠演繹思維,還要靠歸納思維、類比思維及感性意義的直覺——於是你能更深刻地理解,新數學課標之所以對演繹論證、歸納、類比、數感、感悟和領悟等等一併提倡,是有深刻的現代哲學依據的。
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