六年級奧數講座題目之圖形變換
4.如圖,在三角形ABD中,當AB和CD的長度相等時,請求出“?”所示的角是多少度,給出過程．
【分析與解】 因為AB=CD,於是可以將三角形ABC的邊BA邊與CD對齊,如下圖． 在下圖中有∠BCA=1100,所以∠ACD=700
於是∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =700+400=1100；
即∠ =1100=∠ ；又因為 只是 移動的變化,所以 = ；則 是一等腰梯形．
於是,∠ =1800-1100=700；
又∠ =300,所以∠ =700-300=400.
6.如下圖,△ABC是邊長為1的等邊三角形,△BCD是等腰三角形BD=CD，頂角∠BDC=1200,∠MDN=600,求△AMN的周長．
【分析與解】 如下圖,延長AC至P,使CP=MB,連線DP.
則有∠MBD=600+ ∠PCD；CP=BM；BD=CD,所以有△MBD≌△PCD.
於是∠MDC=∠PDC；又因為∠MDB+∠NDC=600,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=600；MD=PD
在△MDN、△PND中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,於是△MND≌△PND.有MN=PN．
因為NP=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2.
即△AMN的周長為2.
8.下圖為半徑20釐米、圓心角為1440的扇形圖.點C、D、E、F、G、H、是將扇形的B、弧線分為8等份的點.求陰影部分面積之和．
【分析與解】 如下圖,做出輔助線
△MA與△ANG形狀相同(對應角相等),大小相等(對應邊相等),有△MA≌△ANG, ,而△LMA是兩個三角形的'公共部分,所以上圖中的陰影部分面積相等．
所以,GNM與扇形GA的面積相等,那麼GEB的面積為2倍扇形GA的面積．
扇形GA的圓心角為 ×3=540,所以扇形面積為 平方釐米．
那麼GEB的面積為60 =120 平方釐米．
如下圖,做出另一組輔助線．
△QA與△ARH形狀相同(對應角相等),大小相等(對應邊相等),有△QA≌△ARH, =5△A,而△PQA是兩個三角形的公共部分,所以右圖中的陰影部分面積相等．
所以,HRQ與扇形HA的面積相等,那麼HDC的面積為2倍扇形HA的面積．
扇形HA的圓心角為 ,所以扇形面積為 平方釐米．
那麼HDC的面積為 平方釐米．
所以,原題圖中陰影部分面積為
≈80×3.14=251.2平方釐米．
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