初中數學公開課優秀教案
導語：數學是美的，數學是文化中的文化，數學是科學的精髓，數學是人類智慧的精華，數學是亮麗風景，數學是異草奇葩。以下是品才網pincai.com小編整理的初中數學公開課優秀教案，歡迎閱讀參考。
初中數學公開課優秀教案一
圓和圓的位置關係
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點：兩圓的位置關係和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今後研究圓與圓問題的基礎知識.
難點：兩圓位置關係的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由於兩圓位置關係有5種類型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學生容易遺漏;而在相交圓的性質應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究圓和圓的位置關係;第二課時相交兩圓的性質.
(1)把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體，讓學生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識;
(2)要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力;
(3)在教學中，以分類思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個教學過程.
第一課時 圓和圓的位置關係
教學目標：
1.掌握圓與圓的五種位置關係的定義、性質及判定方法;兩圓連心線的性質;
2.透過兩圓的位置關係，培養學生的分類能力和數形結合能力;
3.透過演示兩圓的位置關係，培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.
教學重點：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關係.
教學難點：
兩圓位置關係及判定.
(一)複習、引出問題
1.複習：直線和圓有幾種位置關係?各是怎樣定義的?
(教師主導，學生回憶、回答)直線和圓有三種位置關係，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關係是透過直線與圓的公共點的個數來定義的
2.引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什麼樣的位置關係呢?
(二)觀察、分類，得出概念
1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關係，準確給出描述性定義：
(1)外離：兩個圓沒有公共點，並且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，並且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))
(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，並且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))
(5)內含：兩個圓沒有公共點，並且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例. (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點.
(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一
(3)兩圓位置關係的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含);相交;相切(外切和內切).
教師組織學生歸納，並進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離;有一個公共點則相切;有兩個公共點則相交.除以上關係外，還有其它關係嗎?可能不可能有三個公共點?
結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關係.
(三)分析、研究
1、相切兩圓的性質.
讓學生觀察連心線與切點的關係，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：
如果兩個圓相切，那麼切點一定在連心線上.
這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明
2、兩圓位置關係的數量特徵.
設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關係，r和d之間有何數量關係.(圖形略)
兩圓外切
d=R+r; 兩圓內切
d=R-r (R>r); 兩圓外離
d>R+r; 兩圓內含
dr); 兩圓相交
R-r說明：注重“數形結合”思想的教學.
(四)應用、練習
例1： 如圖，⊙O的半徑為5釐米，點P是⊙O外一點，OP=8釐米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：
(1)設⊙P與⊙O外切與點A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
(2)設⊙P與⊙O內切與點B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC=12，
∴⊙O的半徑
，且O是AC的中點 ∴
，∵∠C=90°且BC=8， ∴
， ∵⊙O的半徑
，⊙B的半徑
， ∴BO=
，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(P138)
(五)小結
知識：①兩圓的五種位置關係：外離、外切、相交、內切、內含;
②以及這五種位置關係下圓心距和兩圓半徑的數量關係;
③兩圓相切時切點在連心線上的性質.
能力：觀察、分析、分類、數形結合等能力.
思想方法：分類思想、數形結合思想.
(六)作業
教材P151中習題A組2，3，4題.
第二課時 相交兩圓的性質
教學目標
1、掌握相交兩圓的性質定理;
2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法;
3、透過例題的分析，培養學生分析問題、解決問題的能力;
4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.
教學重點
相交兩圓的性質及應用.
教學難點
應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質和準確新增輔助線.
教學活動設計
(一)圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什麼性質呢?
(二)
觀察、猜想、證明
1、觀察：同樣相交兩圓，也構成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.
2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證明：
對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織;對B、C層在教師引導下完成.
已知：⊙O1和⊙O2相交於A，B.
求
證：Q1O2是AB的垂直平分線.
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點和線段AB兩個端點的距離相等，於是想到連結O1A、O2A、O1B、O2B.
證明：連結O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點在AB的垂直平分線上.
又∵O2A=O2B，∴點O2在AB的垂直平分線上.
因此O1O2是AB的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱軸.
∴⊙Ol和⊙O2的公共點A關於直線O1O2的對稱點即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A點關於直線O1O2的對稱點只能是B點，
∴連心線O1O2是AB的垂直平分線.
定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
(三)應用、反思
例1、已知兩個等圓⊙Ol和⊙O2相交於A，B兩點，⊙Ol經O2。
求∠OlAB的度數.
分析：由所學定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，
又
⊙O1與⊙O2是兩個等圓，因此連結O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構成等邊三角形，同時可以推證⊙O l和⊙O2構成的圖形不僅是以O1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由
∠OlAO2=60°，推得∠OlAB=30°.
解：⊙O1經過O
2，⊙O1與⊙O2是兩個等圓
∴OlA= O1O2= AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°
.
例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直於PA，交⊙O l、⊙O2於M、N。
求證：AM=AN.
證明：過點Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC=
AM，AD=
AN.
∵OlP= O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN.
例
3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交於A、B兩點，C為⊙Ol上一點，AC交⊙O2於D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2於E、F.
求證：EC∥DF
證明：連結AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF.
反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.
(四)小結
知識：相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據.
能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯絡，為證題創造條件，起到了“橋樑”作用;②圓的對稱性的應用.
(五)作業 教材P152習題A組7、8、9題;B組1題.
探究活動
問題1：已知AB是⊙O的直徑，點O1、O2、…、On線上段AB上，分別以O1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內切.設⊙O的周長等於C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長分別為C1、C2、…、Cn.
(1)當n=2時，判斷Cl+C2與C的大小關係;
(2)當n=3時，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關係;
(3)當n取大於3的任一自然數時，Cl十C2十…十Cn與C的大小關係怎樣?證明你的結論.
提
示：假設⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，透過周長計算，比較可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+ C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.
問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊貼另外七個無滑動地滾動，當它繞完這些固定不動的圓形一週，本身將旋轉了多少轉?
提示：1、實驗：用硬幣作初步實驗;結果硬幣一共轉了4轉.
2、分析：當你把動圓無滑動地沿著
圓周長的直線上滾動時，這個動圓是轉
轉，但是，這個動圓是沿著弧線滾動，那麼方才的說法就不正確了.在我們這個題目中，那動圓繞著相當於它的圓周長的
的弧線旋轉的時候，一共走過的不是
轉;而是
轉，因此，它繞過六個這樣的弧形的時，就轉了
轉
初中數學公開課優秀教案二
正多邊形的有關計算
教學設計示例1
教學目標：
(1)會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題;
(2)鞏固學生解直角三角形的.能力，培養學生正確迅速的運算能力;
(3)透過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新.
教學重點:
把正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題.
教學難點:
正確地將正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.
教學活動設計:
(一)創設情境、觀察、分析、歸納結論
1、情境一：給出圖形.
問題1：正n邊形內角的規律.
觀察：在圖形中，應用以有的知識(多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等)得出新結論.
教師組織學生自主觀察，學生回答.(正n邊形的每個內角都等於
.)
2、情境二：給出圖形.
問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什麼樣的三角形?它們有什麼規律?
教師引導學生觀察，學生回答.
觀察：三角形的形狀，三角形的個數.
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.
3、情境三：給出圖形.
問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什麼規律?
觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的.
(二)定理、理解、應用：
1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形.
2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化.
由於這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角
的一半，即
，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題.
3、應用：
例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和麵積S6.
教師引導學生分析解題思路：
n=6
=30°，又半徑為R
a6 、r6.
P6、S6.
學生完成解題過程，並關注學生解直角三角形的能力.
解：
作半徑OA、OB;作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB. ∵∠GOB=
，
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°=
， ∴
. 歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6=
Pn rn.
4、研究：(應用例1的方法進一步研究)
問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.
學生以小組進行研究，並初步歸納：
;
;
;
;
;
.
上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.
透過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數;(2)圓的半徑和邊心距;(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.
(三)小節
知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題.
思想：轉化思想.
能力：解直角三角形的能力、計算能力;觀察、分析、研究、歸納能力.
(四)作業
歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式.
教學設計示例2
教學目標：
(1)進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題;
(2)透過正十邊形的邊長a10與半徑R的關係的證明，學習邊計算邊推理的數學方法;
(3)透過解決實際問題，培養學生簡單的數學建模能力;
(4)培養學生用數學意識，滲透理論聯絡實際、實踐論的觀點.
教學重點:
應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數計算的證明方法.
教學難點:
例3的證明方法.
教學活動設計：
(一)知識回顧
(1)方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉化為解直角三角形問題.
(2)知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，正多邊形的有關計算.
;
;
;
;
;
.
組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格.
(二)正多邊形的應用
正
多邊形的有關計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產和生活中常常會用到，掌握後對學生參加實踐活動具有實用意義.
例2、在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).
解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連線OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF=
. ∵AF=
(cm)，∴R5=
(cm). r5=
(cm).
答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm
建議：①組織學生，使學生主動參與教學;②滲透簡單的數學建模思想和實際應用意識;③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養.
以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內交流.
例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長
.
教師引導學生：
(1)∠AOB=?
(2)在△OAB中，∠A與∠B的度數?
(3)如果BM平分∠OBA交OA於M，你發現圖形中相等的線段有哪些?你發現圖中三角形有什麼關係?
(4)已知半徑為R，你能不透過解三角形的方法求出AB嗎?怎麼計算?
解：如圖，設AB=a10.作∠OBA的平分線BM，交OA於點M，則
∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.
∴OM=MB=AB= a10.
△ OAB∽△BAM
OA:AB=BA:AM，即R :a10= a10:(R- a10)，整理，得
，
(取正根). 由例3的結論可得
.
回顧：黃金分割線段.AD2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項.頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段.
反思：解決方法.在推導a10與R關係時，輔助線角平分線是怎麼想出來的.解決方法是複習等腰三角形的性質、判定及相似三角形的有關知識.
練習P.165中練習1
(三)總結
(1)應用正多邊形的有關計算解決實際問題;
(2)綜合代數列方程的方法證明了
.
(四)作業
教材P173中8、9、10、11、12.
探究活動
已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角
、
、
的大小.
探究它們存在什麼規律?你能證明嗎?
(提示：
.)
初中數學公開課優秀教案三
切線長定理
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點：切線長定理及其應用.因切線長定理再次體現了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關係等提供了理論依據，它屬於工具知識，經常應用，因此它是本節的重點.
難點：與切線長定理有關的證明和計算問題.如120頁練習題中第3題，它不僅應用切線長定理，還用到解方程組的知識，是代數與幾何的綜合題，學生往往不能很好的把知識連貫起來.
2、教法建議
本節內容需要一個課時.
(1)在教學中，組織學生自主觀察、猜想、證明，並深刻剖析切線長定理的基本圖形;對重要的結論及時總結;
(2)在教學中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學.
教學目標
1.理解切線長的概念，掌握切線長定理;
2.透過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想.
3.透過對定理的猜想和證明，激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，樹立科學的學習態度.
教學重點:
切線長定理是教學重點
教學難點:
切線長定理的靈活運用是教學難點
教學過程設計:
(一)觀察、猜想、證明，形成定理
1、
切線長的概念.
如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長.
引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量;切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.
2、觀察
利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特徵和各量之間的關係.
3、
猜想
引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等於PB. PA=PB.
4、證明猜想，形成定理.
猜想是否正確。需要證明.
組織學生分析證明方法.關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA=PB.
想一想：根據圖形，你還可以得到什麼結論?
∠OPA=∠OPB(如圖)等.
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.
5、歸納：
把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質
6、切線長定理的基本圖形研究
如圖，
PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點.直線OP交⊙O於點D，E，交AP於C
(1)寫出圖中所有的垂直關係;
(2)寫出圖中所有的全等三角形;
(3)寫出圖中所有的相似三角形;
(4)寫出圖中所有的等腰三角形.
說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活應用知識的基礎.
(二)應用、歸納、反思
例1、已知：
如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，
A和B是切點，BC是直徑.
求證：AC∥OP.
分析：從條件想，由P是⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點可得PA=PB，∠APO=∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB=OC，由此聯想到與直徑有關的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等.於是想到可能作輔助線AB.
從結論想，要證AC∥OP，如果連結AB交OP於O，轉化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來考慮.也可考慮透過平行線的判定定理來證，可獲得多種證法.
證法一.如圖.連結AB.
PA，PB分別切⊙O於A，B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴ OP ⊥AB
又∵BC為⊙O直徑
∴AC⊥AB
∴AC∥OP (學生板書)
證法二.
連結AB，交OP於D
PA，PB分別切⊙O於A、B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴AD=BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位線
∴AC∥OP
證法三.連結AB，設OP與AB弧交於點E
PA，PB分別切⊙O於A、B
∴PA=PB
∴ OP ⊥AB
∴
=
∴∠C=∠POB
∴AC∥OP
反思：
教師引導學生比較以上證法，激發學生的學習興趣，培養學生靈活應用知識的能力.
例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.
(分析和解題略)
反思：(1)例3事實上是圓外切四邊形的一個重要性質，請學生記住結論.(2)圓內接四邊形的性質：對角互補.
P120練習：
練習1 填空
如圖,
已知⊙O的半徑為3釐米，PO=6釐米，PA，PB分別切⊙O於A，B，則PA=_______，∠APB=________
練習2 已知：在△ABC中，BC=14釐米，AC=9釐米，AB=13釐米，它的內切圓分別和BC，AC，AB切於點D，E，F，求AF，AD和CE的長.
分析：設各切線長AF，BD和CE分別為x釐米，y釐米，z釐米.後列出關於x , y，z的方程組，解方程組便可求出結果.
(解略)
反思：解這個題時，除了要用三角形內切圓的概念和切線長定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題.透過對本題的研究培養學生的綜合應用知識的能力.
(三)小結
1、
提出問題學生歸納
(1)這節課學習的具體內容;
(2)學習用的數學思想方法;
(3)應注意哪些概念之間的區別?
2、歸納基本圖形的結論
3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法.
(四)作業
教材P131習題7.4A組1.(1)，2，3，4.B組1題.
探究活動
圖中找錯
你能找出(圖1)與(圖2)的錯誤所在嗎?
在圖2中，P1A為⊙O1和⊙O3的切線、P1B為⊙O1和⊙O2的切線、P2C為⊙O2和⊙O3的切線.
提示：在圖1中，連結PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點O應在圓上.
在圖2中，設P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A=P3C=c，則有
a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c ①
c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b ②
a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b ③
將②代人①式得
a = P1P3+(P2P3+ b)= P1P3+P2P3+ b，
∴a-b= P1P3+P2P3
由③得a-b= P1P2得
∴P1P2= P2P3+ P1P3
∴P1、P 2 、P3應重合，故圖2是錯誤的.
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