初中數學教材中的化歸思想剖析
“問題是數學的心臟”，數學問題的解決是數學教學中的一個重要組成部分，而幾乎所有問題的解決都離不開化歸，只是所體現的形式有所不同。計算題是利用規定的運演算法則進行化歸，證明題是利用公理、定理或已經證明了的命題進行化歸，應用題利用數學模型化歸，……因此，可以說，離開了化歸，數學問題將無法解決，化歸是解決數學問題的最基本的手段之一。而透過一定的轉化過程，把待解決的問題轉化為已經解決或比較容易解決的問題或這類問題的某種組合，這種思想被稱之為“化歸思想”。
在整個初中數學教材中無處不滲透著化歸思想，我們時常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數運算化為乘法運算，把幾何問題化為代數問題，化無理為有理等，可以說在初中的數學教材中，每一冊都有較多問題的解決需要用化歸的思想方法來完成，而在歷年的中考題中許多壓軸題的解決也需要用化歸的思想方法來完成，所以這種數學思想是初中數學中解決問題的一種非常重要的數學思想。
化歸思想的實質就是將一個新問題進行變形，使其轉化為另一個已經解決的問題，從而使原來的問題得到解決。其一般模式是把所要解決的問題A經過某種變化，使之歸結為另一個問題A*，再透過問題A*的求解，把解得的結果還原於原有問題A，從而使原有問題得解。
化歸思想包含三個要素：化歸的物件、化歸的方向和化歸的方式方法。要正確運用化歸思想，就要分清化歸的物件，明確要化歸的方向，考慮實施化歸的方法。本文主要從化歸的方向對初中教材中的化歸思想進行舉例分析。
從化歸的方向上來看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：
一、新知識向已知知識點或知識塊的轉化
在初中數學教材中，有許多新知識的獲得或新問題的解決都是透過轉化為已知知識或已解決的問題來完成的，也就是將新知識向已知知識點或知識塊轉化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例來分析這種化歸的方向。
1、消元降次化歸，實現新知識向已知知識點的轉化
(1)降次化歸解一元方程
解一元二次方程時有以下四種基本解法：
a、如果方程的一邊是關於X的完全平方式，另一邊是個非負的常數，則根據平方根的意義將形如方程轉化為兩個一次方程進而得解，此為開平方。
b、如果將方程透過配方恆等變形，一邊化為含未知數的完全平方式，另一邊為非負的常數，則其後的求解可由思路一完成，此為配方法。
c、如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個一次因式之積，就可以得到兩個因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的'解，此為因式分解法。
d、如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。
縱觀以上四種方法，不難發現，方法一即所謂開平方法，它是依據平方根的意義將二次方程轉化為一次方程，完成了由“二次”向“一次”的轉化。方法二中的“配方”僅完成了方程的恆等變形，把問題轉移到“可開方”上來，並未完成“降次轉化”這一實質性工作，但已經為“二次”向“一次”轉化創造了條件，因而習慣上稱之為“配方法”，配方法的實質就是透過轉化為開平方來解決的。方法三即因式分解法，其理論依據是“若干個因式之積為零時，則其中至少有一個因式為零”，據此，也順利地實現了由“二次”轉化為“一次”的目的。方法四即所謂公式法，對一般的一元二次方程,透過配方,轉化為開平方求得一般結論,即求根公式。公式法以強調結論，應用結果為前提，而省略了公式的探究過程，實際上已將解方程轉化成為代數式的求值問題，而公式的得到則是化歸思想的典型體現。
從以上分析不難看到：將“一元二次”這個新知識點轉化為“一元一次”這個已知知識點之際，也就是順利求解一元二次方程之時。因此，應用化歸思想降次轉化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。
而對於高次方程，初中教材中的都是簡單的一元高次方程，這類方程根據具體方程的特殊性可以透過一些常規的數學方法把它們轉化為一元一次方程或一元二次方程，即完成從新知識點到已知知識點的降次化歸過程，從而使此類方程問題得到解決。
(2)消元降次化歸解方程組
解二元一次方程組，其基本方法是透過加減消元或是代入消元轉化為一元一次方程，即完成從新知識點到已知知識點的轉化，從而得到求解。三元一次方程組，也透過消元，轉化為二元一次方程組，再進一步轉化為一元一次方程，從而使問題得解。而對於二元二次方程組，如果要解的二元二次方程組是由一個二元一次方程和一個二元二次方程構成的，那麼直接先消元轉化為一個一元二方程就可以求解了。如果要解的二元二次方程組是由兩個二元二次方程組成的，則既要消元，又要降次，需轉化為兩個分別含有一個二元一次方程的二元二次方程組或四個二元一次方程組，即完成由新知識向已知知識的轉化，從而使二元二次方程組得到求解。
2、分式方程整式化、無理方程有理化,實現新知識向已知知識塊的轉化
初中新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七年級上，後者安排在八年級下。從此可以看出把分式方程轉化為整式方程這一已知的知識模組是解分式方程的基本思路。初中教材中的無理方程基本上都可以透過對方程兩邊進行平方或是換元把它轉化為整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程，從而使無理方程轉化為有理方程這一已知的模組，從而得到求解。這裡需要注意的是在分式方程整式化、無理方程有理化的變形過程中,有可能不是恆等變形，可能產生增根，所以分式方程和無理方程都必須要驗根。
縱觀整個初中教材，不難發現除了解方程問題，還有許多知識的轉化都屬於新知識向已知知識點或知識塊的轉化，如:異分母分數的加減法，透過通分轉化成同分母分數的加減法;多邊形的內角和問題轉化為三角形的內角和來解決、梯形的中位線問題轉化為三角形的中位線來解決等，可以說初中教材中運用化歸思想來解決的問題其化歸的方向大部分都屬於這種型別。
二、一般情況向特殊情況的轉化
在解決數學問題中除了上述的化歸方向外，還有一類化歸方向是：先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然後透過恰當的化歸方法把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題來解決，這也是解決新問題獲得新知識的一種重要的化歸方向。
一般解題時先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然後透過恰當的化歸方法把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題來解決，這也是順利解決某些問題的一種重要的化歸方向，特別是在中考題的最後一題中，往往也有許多時候是需要先解決特殊條件下的問題，然後再透過化歸把一般情況下的問題轉化為特殊條件下的情形來解決，所以這種化歸方向在獲得新知識解決新問題的過程中也發揮著非常重要的作用。
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