數學史融入小學教學案例設計與解析論文
摘 要： 筆者先提出數學史融入教學的重要性, 然後分析目前教學中所存在的教學方式的問題。最後, 筆者以“數學廣角——雞兔同籠”這節課為例, 將數學史融入該教學案例的設計與解析。
關鍵詞： 數學史; 小學數學; 教學方式;
數學是人類文化中最重要的一種文化, 是人類文化發展中的一個重要標誌[1]。小學階段的數學學習對小學生之於課程的認知具有深遠的影響, 教師要仔細認真地研究我們的小學數學教材, 對課堂教學負責。不能讓學生對數學產生“討厭”的想法。若其帶著厭惡的心理被迫在數學學習上投入時間和精力, 這樣是不符合我們的素質教育思想, 對學生的成長也有不利影響。那抽象理性的數學跟具體感性認知的小學生之間該用什麼橋樑來聯絡呢?研究表明, 教學過程中適時地融入數學史料就是一種可行的做法。這也符合我們課程標準中的課程教育理念。
1、數學史的重要性
數學史是數學文化傳播的一種重要的體現形式。數學史之於數學教學的價值早在19世紀就被一些西方數學家所認識。1972年, 在英國埃克塞特 (Exeter) 召開的第二屆國際數學教育大會上, 成立了數學史與數學教學關係國際研究小組 (International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 簡稱HPM) 。1976年, HPM開始隸屬於國際數學教育委員會 (ICMI) 。其中就有一個工作小組負責如何納數學史為一種數學工具, 也就是:在數學課程中, 試著為數學史尋求一個定位。這樣的研究群組目的是結合數學史與數學教學, 以便提升數學教育的成效。
數學史對激發學生的學習興趣, 培養學生的品格和思想, 薰陶學生不畏艱難的性格等都有重要的作用。現在世界上越來越多的國家開設數學史課程, 而且大都從培養愛國主義的狹隘天地轉向為培養能力和思想。從數學史可清楚看出, 無論是數學的.概念還是數學的運算、規則等都是由於現實世界的實際需要而形成的。數學是現實世界的抽象反映和人類經驗的總結, 數學教育如果脫離了那些豐富多彩而又錯雜的背景材料, 就將成為“無源之水, 無本之木”。數學教育是現實數學的教育。
2、存在的問題
但透過一些公開課的觀察發現:數學史融入小學課堂依舊簡單機械, 過於生硬。很多教師都是在數學課堂開始或者結束前增加一個介紹數學史料的環節, 如數學家的生平故事、概念的發展歷程、有趣的歷史名題等, 以此試圖激發學生的學習興趣, 為課堂增添一抹亮色。增加的數學史料形式上圖文並茂, 配上動聽的音樂, 確實讓學生在枯燥的數學學習中感覺到了一絲新鮮。但是, 如此處理數學史料, 不過是停留在知識拓展的低水平狀態, 對歷史進行簡單的拼湊, 使得數學史料與小數學課堂產生裂痕。所以說將數學史料融入小學數學課堂絕不應僅僅是簡單的嫁接或移植。我們要選取行之有效的數學史方面的教學素材, 採用與一般模式不同的教學方式, 將數學史很自然地融入小學數學課堂, 讓學生站在古人的肩膀上體會數學思想, 感受數學的魅力, 欣賞數學, 愛慕數學, 享受數學。
3、數學史融入教學案例設計與解析
筆者選取人教版小學數學四年級下冊第九章“數學廣角——雞兔同籠”這一教學片段來進行教學設計並進行此課堂教學案例效果分析。數學名題之所以流傳不衰, 其中蘊含了豐富的數學思想方法。雞兔同籠問題實質上是用“二元一次方程組”解決問題的一個經典數學名題。公元400年, 中國古代數學著作《孫子算經》成書, 王卷當中卷下第31問記錄了著名的“稚兔同籠”問題:今有稚兔同籠, 上有三十五頭, 下有九十四足。問稚、兔各幾何?答曰:稚二十三, 兔一十二。解答方法之一便是:上置三十五頭。下置九十四足。半其足, 得四十七。以少減多, 再命之。上三除下四, 上五除下七。下有一除上三, 下有二除上五, 即得。解答方法之二是:上置頭, 下置足。以頭除足, 以足除頭, 即得[2]。其中滲透了化繁為簡、數形結合、數學模型這些數學思想。在小學階段, 人教版四年級下冊《數學廣角》從《孫子算經》的經典數學名題引入, 主要要求學生用列表法、假設法來解決問題, 在閱讀資料中也介紹了抬腳法。雞兔同籠問題實質上是雞兔同籠類的問題。如在清代李汝珍的著作《鏡花緣》中第93回眾才女在小整山賞燈時, 出現了兩個與“稚兔同籠”問題的數量關係相互類似的問題。
燈謎一:大廳有兩種燈, 一種掛1個大球, 下掛2小球;另一種掛1個大球, 下掛4個小球。大球共掛360個, 小燈球共掛1 200個。兩種燈各有多少盞?
燈謎二:樓上有兩種燈, 一種燈上掛3個大球, 下掛6個小球, 大小球總共9個是一盞燈;另一種燈上掛3個大球, 下掛18個小球, 大小球總共21個是一盞燈。大燈球共396個, 小燈球共1 440個。兩種燈各有多少盞?
文中, 才女蘭芬對燈謎一給出的解答為:“將小燈球1 200減半為600, 用大球360減之, 剩下240, 是240盞四小球燈;用360減去240, 剩下120, 是120盞二小球燈。”這一中解題的思考方法跟《孫子算經》中“稚兔同籠”的“半足法”的思考方法相同, 先把1 200個小燈球減去一半變為600個, 然後用600減去大燈球的個數360, 剩下240, 就是四小球燈的數量。再用大燈球個數360減去240, 剩下120, 就是二小球燈的數量。寫成算式就簡潔明瞭:
1 200÷2=600 (個)
600-360=240 (盞)
蘭芬對燈謎二的解法是:“先把一千四百四十減半成為卡百二十, 用大球三百九十六減之, 剩餘三百二十四, 用六歸之, 得五十四, 是掛十八小球燈五十四盞;用三乘五十四, 得到一百六十二, 減去大球三百九十六, 剩餘二百三十四, 用三歸之, 得到七十八, 就是掛六小球燈的數目[3]”。
簡而言之, 就是先把小燈球數減半, 再用720減去大燈球數量396得到324, 用324除以6得到54, 用54乘3得到162, 用大燈球數396減去162得到234, 最後234除以3等於78, 就是掛6個小球的燈的個數。這一演算法顯然是借鑑了《孫子算經》中的“半足法”。古籍中類似這樣的題可以介紹給學生一觀。在國外, 由於引用的典型例子不同, 有不同的名稱。如日本是用龜鶴代替了雞兔, 所以把這類題稱為龜鶴同遊問題。人們還以獵人與狗為素材創編了兒歌。因此這類問題又可以稱為“人狗同行”問題。在引導學生解決了“雞兔同籠”問題後, 教師可以進一步列舉“龜鶴同遊問題”和“人狗同行”問題。如筆者在講完雞兔同籠題後, 繼續深入。
教師:不僅中國人研究這類問題, 日本人也研究, 他們稱雞兔同籠為龜鶴問題 (龜鶴同籠, 共有40個頭, 112只腳, 問龜、鶴各有幾隻?) 。提問:日本人說的龜鶴跟我們說的雞兔有關聯嗎?
學生:鶴跟雞一樣, 都有兩隻腳, 龜和兔一樣的, 都有四隻腳。
教師;那麼這道龜鶴同籠問題你能解決嗎?
預設:龜 (112-40×2) ÷2=16 (只) , 鶴40-16=24 (只) 。
小結:龜鶴同籠和雞兔同籠是具有相同思考方法的同一型別的數學問題。
教師:教師在搜尋這類數學問題時, 還發現一首有趣的兒歌。
兒歌:一隊獵人一隊狗, 兩列併成一隊走。數頭共有五十五, 數腳共有一百九。
教師:我們已經學習了雞兔同籠, 龜鶴同籠。那麼這首兒歌大家也取個名字。
學生:人狗共走。
教師:把人狗共走的兒歌跟雞兔同籠比較, 你有什麼想法嗎?
學生:我覺得它跟雞兔同籠問題是一樣的, 獵人相當於雞, 有兩隻腳。狗相當於兔, 四隻腳。所以解決問題的思考方式相同。
教師:同學們同意他的理解方式嗎?
學生:同意。
教師:看來同學們已經能夠把握住了這類題目的關鍵, 找到了它們的數量關係。
板書:兩隻腳:獵人-雞-鶴, 四隻腳:狗-兔-龜。
教師:我們回顧這堂課, 從雞兔同籠演變到龜鶴同遊, 再演變到人狗同行, 你有什麼發現嗎?雞兔同籠這一歷史名題吸引古今這麼多人去解有什麼獨特的魅力?
學生1:雞兔同籠的思考方法很有趣。
學生2:甚或中好多種和雞兔同籠類似的情況。
“雞兔同籠”問題的教學就是透過實際生活情境, 讓學生領悟“發現、抽象、簡化、解決、處理”問題的整個思維過程。透過“雞兔”的具體講解, 引導學生初步對問題本質提煉之後, 然後透過“龜鶴”“人狗”兩個不同情境突出數量差異的變化, 進而提煉出簡單的問題模型。最後, 如果要完成模型的建構與應用, 則應該將模型演繹到學生的各種生活情境和問題情境中, 促進學生對模型的進一步內化。從數學模型的建構角度來說, 學生先對雞兔同籠問題做了初步的提煉, 教師透過蒐集國外的數學史料, 提出問題變式, 讓學生進一步去埋解識別模型。在情境和數字的“變化”中體會到問題“結構”和分析思路上的“不變”, 進而形成此“類”問題的思維模型。透過這一融入國內外數學名題教學, 學生不僅經歷了生活問題數學化的過程, 而且感受到數學模型的為量和經典歷史名題魅力長存的秘密。
讓學生在數學史的背景下感受數學的魅力, 教師透過這種形式滲透數學思想, 這是數學教師應當努力去嘗試和創新的一個方向, 讓數學變得有趣真實奇妙。
參考文獻：
[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準 (2011年版) [M].北京:北京師範大學出版社, 2012.
[2]陳鋼.《孫子算經》及雞兔問題[J].湖南教育, 1995 (2) :44.
[3]郜舒竹.“雞兔同籠”演算法源流[J].教學月刊:小學版 (數學) , 2012 (7/8) :26-29.
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