《完全平方數特徵》知識點總結
完全平方數特徵:
1.末位數字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3餘0或餘1;反之不成立。
3.除以4餘0或餘1;反之不成立。
4.約數個數為奇數;反之成立。
5.奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。
6.奇數平方個位數字是奇數;偶數平方個位數字是偶數。
7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。
平方差公式:X2-2=(X-)(X+)
完全平方和公式:(X+)2=X2+2X+2
完全平方差公式:(X-)2=X2-2X+2
經典例題:
例1、一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數,求此數。
解:設此自然數為x,依題意可得
x-45=^2................(1)
x+44=n^2................(2)(,n為自然數)
(2)-(1)可得 n^2-^2=89, (n+)(n-)=89
但89為質數,它的正因子只能是1與89,於是。解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。
例2、求證:四個連續的`整數的積加上1,等於一個奇數的平方。
分析:設四個連續的整數為n,(n+1),(n+2),(n+3),其中n為整數。欲證
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數的平方,只需將它透過因式分解而變成一個奇數的平方即可。
證明:設這四個整數之積加上1為,則
=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是兩個連續整數的積,所以是偶數;又因為2n+1是奇數,因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了是一個奇數的平方。
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