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公倍數和公因數教材分析

公倍數和公因數教材分析

  在四年級(下冊)教材裡,學生已經建立了倍數和因數的概念,會找10以內自然數的倍數,100以內自然數的因數。本單元繼續教學倍數和因數的知識,要理解公倍數、最小公倍數和公因數、最大公因數的意義,學會找兩個數的最小公倍數和最大公因數的方法。為以後進行通分、約分和分數四則計算作準備。全單元的教學內容分三部分編排。

  第22~25頁教學公倍數。主要是兩個數的公倍數、最小公倍數的意義,求最小公倍數的方法。

  第26~31頁教學公因數。包括兩個數的公因數、最大公因數的意義,求最大公因數的方法。在練習五里還安排了最小公倍數與最大公因數的比較。

  第32~36頁實踐與綜合應用。利用郵政編碼、身份證號碼等例項,教學用數字編碼表示資訊。

  在“你知道嗎”裡,介紹了我國古代曾經用“輾轉相除法”求最大公因數,也介紹了現代人們經常用“短除法”求兩個數的最大公因數和最小公倍數。在閱讀這篇材料後,如果學生願意用短除法求兩個數的最大公因數或最小公倍數,是允許的。但是,不要求全體學生掌握和使用短除法。編排的一道思考題,是可以用公因數知識解決的實際問題。

  1?在現實的情境中教學概念,讓學生透過操作領會公倍數、公因數的含義。

  例1教學公倍數和最小公倍數,例3教學公因數和最大公因數,都是形成新的數學概念,都讓學生在操作活動中領會概念的含義。

  例1先用長3釐米、寬2釐米的長方形紙片,分別鋪邊長6釐米和8釐米的正方形,發現正好鋪滿邊長6釐米的正方形,不能正好鋪滿邊長8釐米的正方形,並從長方形紙片的長、寬和正方形邊長的關係,對鋪滿和不能鋪滿的原因作出解釋。再想像這張長方形紙片還能正好鋪滿哪些正方形,從倍數的角度總結規律,為形成新的數學概念積累豐富的感性材料。然後揭示公倍數與最小公倍數的含義,把感性認識提升成理性認識。

  教材選擇長方形紙片鋪正方形的活動教學公倍數,是因為這一活動能吸引學生髮現和提出問題,能引導學生思考。學生用同一張長方形紙片鋪兩個不同的正方形,面對出現的兩種結果,會提出“為什麼有時正好鋪滿、有時不能”,“什麼時候正好鋪滿、什麼時候不能”這些有研究價值的問題。他們沿著正方形的邊鋪長方形紙片,就會想到正好鋪滿與不能正好鋪滿的原因可能和邊長有關,於是產生進一步研究正方形邊長和長方形長、寬之間關係的願望。

  分析正方形的邊長和長方形長、寬之間的關係,按學生的認知規律,設計成兩個層次:第一個層次聯絡鋪的過程與結果,從兩個正方形的邊長除以長方形的長、寬沒有餘數和有餘數的層面上,體會正好鋪滿與不能正好鋪滿的原因。第二個層次根據正好鋪滿邊長6釐米的正方形、不能正好鋪滿邊長8釐米的正方形的經驗,聯想還能正好鋪滿邊長是幾釐米的正方形。先找到這些正方形,把它們的邊長從小到大排列,知道這樣的正方形有無數多個。再用“既是2的倍數,又是3的倍數”概括地描述這些正方形邊長的特徵。顯然,前一層次形象思維的成分較大,思考難度較小,對後一層次的抽象認識有重要的支援作用。

  讓學生在現實情境中,透過活動領悟公倍數的含義,不僅體現在例題的教學中,還落實到練習裡。第23頁“練一練”在2的倍數上畫“?”,在5的倍數上畫“○”。從數表裡的10、20、30三個數既畫了“?”又畫了“○”,體會它們既是2的倍數,又是5的倍數,是2和5的公倍數。練習四第4、7、8題都是與公倍數有關的實際問題,讓學生透過塗顏色、填表格、圈日期等活動體會公倍數的含義。

  例3教學公因數、最大公因數的含義,也透過“鋪”的活動組織教學。與例1不同的是,例3用2張邊長不同的正方形紙片分別去鋪同一個長方形,是形成公因數概念的需要。例題編寫和練習編排與教學公倍數相似,這裡不再重複。

  2?突出概念的內涵、外延,讓學生準確理解概念。

  概念的內涵是指這個概念所反映的一切物件的共同的本質屬性。公倍數是幾個數公有的倍數,公因數是幾個數公有的因數,可見“幾個數公有的”是公倍數和公因數這兩個概念的本質屬性。在倍數、因數的基礎上教學公倍數、公因數,關鍵在於突出“公有”的含義。

  教材用“既是......又是......”的描述,讓學生理解“公有”的意思。例1先聯絡長3釐米、寬2釐米的長方形紙片正好鋪滿邊長6釐米、12釐米、24釐米......的正方形這些現象,從正方形的邊長分別除以長方形紙的長和寬都沒有餘數,得出正方形的邊長“既是2的倍數,又是3的倍數”,一方面概括了這些正方形邊長的特點,另一方面讓學生體會“既是......又是......”的意思。然後在“6、12、18、24......既是2的倍數,又是3的倍數,它們是2和3的公倍數”這句話裡把“既是......又是......”進一步概括為“公倍數”,形成公倍數的概念。

  集合圖能直觀形象地顯示公倍數、公因數的含義。第23頁把6的倍數與9的倍數分別寫到兩個集合圈裡,這兩個集合圈有一部分重疊,在重疊部分裡寫的數既是6的倍數,也是9的倍數,是6和9的公倍數。先觀察這個集合圖,再填寫第24頁的集合圖,學生能進一步體會公倍數的含義。

  概念的外延是指這個概念包括的一切物件。對具體事例是否屬於概念作出判斷,就是識別概念的外延,加強對概念的認識。例1在揭示2和3的公倍數的概念,指出它們的公倍數是6、12、18、24......後,提出“8是2和3的公倍數嗎”這個問題,利用反例凸現公倍數的含義。讓學生明白8只是2的倍數,不是3的倍數,從而進一步明確公倍數的概念。練習四第4題先在表格裡分別寫出4、5、6的倍數,再尋找4和5、5和6、4和6的公倍數,也有助於學生識別概念的外延。

  3?運用數學概念,讓學生探索找兩個數的最小公倍數、最大公因數的方法。

  本單元只教學兩個數的公倍數、最小公倍數和兩個數的公因數、最大公因數。因為這些是最基礎的數學知識,在約分和通分時應用最多。只要這些基礎知識紮實,即使遇到三個分數的通分,學生也能靈活處理。不編排例題教學短除法求最小公倍數和最大公因數,而是採用寫出兩個數的倍數或因數,找出它們的最小公倍數或最大公因數的方法。這樣安排的目的`是,在運用概念解決問題的過程中,進一步加強數學概念的教學。

  例2教學求兩個數的最小公倍數,出現了多種解決問題的方法,這些方法的思路都出自公倍數和最小公倍數的概念,從6和9的公倍數、最小公倍數的意義引發出來。學生可能先分別寫出6和9的倍數,再找出它們的公倍數和最小公倍數。由於倍數需一個一個地寫,還要逐個逐個地比,所以得出公倍數和最小公倍數比較慢。學生也可能在9的倍數里找6的倍數,只要依次想出9的倍數(即9×1、9×2、9×3......的積),逐一判斷是不是6的倍數,操作比較方便。尤其求兩個較小數(不超過10)的最小公倍數時,更能顯出這種方法的優點。當然,在6的倍數里找9的倍數,也是一種方法,但沒有9的倍數里找6的倍數快捷。教材安排學生在交流中體會各種方法,首先是理解各種方法的共同點,都在尋找既是6的倍數、又是9的倍數,而且是儘量小的那個數。然後是理解各種方法的個性特點,從中作出自己的選擇。

  例4求兩個數的最大公因數,教學方法和例2相似。求8和12的最大公因數的幾種方法中,教材呈現的第一種方法比較適宜多數學生。因為一個數的因數的個數是有限的,先寫出兩個數的全部因數,再找出最大公因數,操作不麻煩。第二種方法從小到大依次想較小數的因數,稍不留心就會遺漏某一個因數。練習五編排第3題的意圖就在於此。

  練習四第5題在初步學會求兩個數的最小公倍數之後安排,兩個色塊分別呈現最小公倍數的兩種特殊情況。左邊的色塊裡,每組的兩個數之間有倍數與因數關係,它們的最小公倍數是較大的那個數。右邊的色塊裡,每組兩個數的最小公倍數是它們的乘積。練習五第6題是初步會求兩個數的最大公因數後安排的。左邊色塊裡,每組的兩個數之間也有倍數與因數的關係,它們的最大公因數是較小的那個數。右邊色塊裡,每組兩個數的最大公因數是1。這些特殊情況,在通分和約分時會經常出現。教學時可以按色塊進行,先分別求出同一色塊四組數的最小公倍數或最大公因數,再找出相同的特點,透過交流內化成求最小公倍數和最大公因數的技能。要注意的是,學生有倍數與因數的知識,能夠理解同組兩個數之間的倍數、因數關係,以及它們的最小公倍數和最大公因數的規律。由於新教材不講互質數,也不教短除法,所以兩個互質數的最小公倍數是它們的乘積、最大公因數是1,這些特殊情況,只能在具體物件中感受,不宜深入研究原因,更不要出結語讓學生記憶。第9題分別寫出1、2、3、4......20這些數與3、2、4、5的最大公因數,在發現有趣規律的同時,也在感受兩個數的最大公因數的兩種特殊情況。

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