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導數基本知識點總結

導數基本知識點總結

  上學期間,大家最不陌生的就是知識點吧!知識點也不一定都是文字,數學的知識點除了定義,同樣重要的公式也可以理解為知識點。為了幫助大家更高效的學習,下面是小編為大家整理的導數基本知識點總結,歡迎閱讀,希望大家能夠喜歡。

  導數基本知識點總結1

  一、函式的單調性

  在(a,b)內可導函式f(x),f′(x)在(a,b)任意子區間內都不恆等於0.

  f′(x)≥0f(x)在(a,b)上為增函式.

  f′(x)≤0f(x)在(a,b)上為減函式.

  二、函式的極值

  1、函式的極小值:

  函式y=f(x)在點x=a的函式值f(a)比它在點x=a附近其它點的函式值都小,f′(a)=0,而且在點x=a附近的左側f′(x)<0,右側f′(x)>0,則點a叫做函式y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函式y=f(x)的極小值.

  2、函式的極大值:

  函式y=f(x)在點x=b的函式值f(b)比它在點x=b附近的其他點的函式值都大,f′(b)=0,而且在點x=b附近的左側f′(x)>0,右側f′(x)<0,則點b叫做函式y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函式y=f(x)的極大值.

  極小值點,極大值點統稱為極值點,極大值和極小值統稱為極值.

  三、函式的最值

  1、在閉區間[a,b]上連續的函式f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.

  2、若函式f(x)在[a,b]上單調遞增,則f(a)為函式的最小值,f(b)為函式的最大值;若函式f(x)在[a,b]上單調遞減,則f(a)為函式的最大值,f(b)為函式的最小值.

  四、求可導函式單調區間的一般步驟和方法

  1、確定函式f(x)的定義域;

  2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定義域內的一切實數根;

  3、把函式f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫座標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來,然後用這些點把函式f(x)的定義區間分成若干個小區間;

  4、確定f′(x)在各個開區間內的符號,根據f′(x)的符號判定函式f(x)在每個相應小開區間內的增減性.

  五、求函式極值的步驟

  1、確定函式的定義域;

  2、求方程f′(x)=0的根;

  3、用方程f′(x)=0的根順次將函式的定義域分成若干個小開區間,並形成表格;

  4、由f′(x)=0根的兩側導數的符號來判斷f′(x)在這個根處取極值的情況.

  六、求函式f(x)在[a,b]上的`最大值和最小值的步驟

  1、求函式在(a,b)內的極值;

  2、求函式在區間端點的函式值f(a),f(b);

  3、將函式f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.

  特別提醒:

  1、f′(x)>0與f(x)為增函式的關係:f′(x)>0能推出f(x)為增函式,但反之不一定.如函式f(x)=x3在(-∞,+∞)上單調遞增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)為增函式的充分不必要條件.

  2、可導函式的極值點必須是導數為0的點,但導數為0的點不一定是極值點,即f′(x0)=0是可導函式f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.例如函式y=x3在x=0處有y′|x=0=0,但x=0不是極值點.此外,函式不可導的點也可能是函式的極值點.

  3、可導函式的極值表示函式在一點附近的情況,是在區域性對函式值的比較;函式的最值是表示函式在一個區間上的情況,是對函式在整個區間上的函式值的比較。

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  一、早期導數概念

  特殊的形式大約在1629年法國數學家費馬研究了作曲線的切線和求函式極值的方法1637年左右他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時他構造了差分f(A+E)-f(A),發現的因子E就是我們所說的導數f(A)。

  二、17世紀廣泛使用的“流數術”17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展在前人創造性研究的基礎上大數學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數術”他稱變數為流量稱變數的變化率為流數相當於我們所說的導數。牛頓的有關“流數術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮級數》流數理論的實質概括為他的重點在於一個變數的函式而不在於多變數的方程在於自變數的變化與函式的變化的比的構成最在於決定這個比當變化趨於零時的極限。

  三、19世紀導數逐漸成熟的理論1750年達朗貝爾在為法國科學家院出版的《百科全書》第五版寫的“微分”條目中提出了關於導數的一種觀點可以用現代符號簡單表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數如果函式y=f(x)在變數x的兩個給定的界限之間保持連續並且我們為這樣的變數指定一個包含在這兩個不同界限之間的值那麼是使變數得到一個無窮小增量。19世紀60年代以後魏爾斯特拉斯創造了ε-δ語言對微積分中出現的各種型別的極限重加表達導數的定義也就獲得了今天常見的形式。

  四、實無限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能 微積分學理論基礎大體可以分為兩個部分。一個是實無限理論即無限是一個具體的東西一種真實的存在另一種是潛無限指一種意識形態上的過程比如無限接近。就歷史來看兩種理論都有一定的道理。其中實無限用了150年後來極限論就是現在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個物理學長期爭論的問題後來由波粒二象性來統一。微積分無論是用現代極限論還是150年前的理論都不是最好的手段。

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  1. 求函式的單調性:

  利用導數求函式單調性的基本方法:設函式yf(x)在區間(a,b)內可導:

  (1)如果恆f(x)0,則函式yf(x)在區間(a,b)上為增函式;

  (2)如果恆f(x)0,則函式yf(x)在區間(a,b)上為減函式;

  (3)如果恆f(x)0,則函式yf(x)在區間(a,b)上為常數函式。

  利用導數求函式單調性的基本步驟:

  ①求函式yf(x)的定義域;

  ②求導數f(x);

  ③解不等式f(x)0,解集在定義域內的不間斷區間為增區間;

  ④解不等式f(x)0,解集在定義域內的不間斷區間為減區間。

  反過來, 也可以利用導數由函式的單調性解決相關問題(如確定引數的取值範圍): 設函式yf(x)在區間(a,b)內可導:

  (1)如果函式yf(x)在區間(a,b)上為增函式,則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構成區間);

  (2) 如果函式yf(x)在區間(a,b)上為減函式,則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構成區間);

  (3) 如果函式yf(x)在區間(a,b)上為常數函式,則f(x)0恆成立。

  2. 求函式的極值:

  設函式yf(x)在x0及其附近有定義,如果對x0附近的所有的點都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),則稱f(x0)是函式f(x)的極小值(或極大值)。

  可導函式的極值,可透過研究函式的單調性求得,基本步驟是:

  (1)確定函式f(x)的定義域;

  (2)求導數f(x);

  (3)求方程f(x)0的全部實根,x1x2xn,順次將定義域分成若干個小區間,並列表:x變化時,f(x)和f(x)值的

  變化情況:

  (4)檢查f(x)的符號並由表格判斷極值。

  3. 求函式的最大值與最小值:

  如果函式f(x)在定義域I記憶體在x0,使得對任意的xI,總有f(x)f(x0),則稱f(x0)為函式在定義域上的最大值。函式在定義域內的極值不一定唯一,但在定義域內的最值是唯一的。

  求函式f(x)在區間[a,b]上的最大值和最小值的步驟:

  (1)求f(x)在區間(a,b)上的極值;

  (2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較,得到f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值。

  4. 解決不等式的有關問題:

  (1)不等式恆成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域。

  f(x)(xA)的值域是[a,b]時,

  不等式f(x)0恆成立的充要條件是f(x)max0,即b0;

  不等式f(x)0恆成立的充要條件是f(x)min0,即a0。

  f(x)(xA)的值域是(a,b)時,

  不等式f(x)0恆成立的充要條件是b0; 不等式f(x)0恆成立的充要條件是a0。

  (2)證明不等式f(x)0可轉化為證明f(x)max0,或利用函式f(x)的單調性,轉化為證明f(x)f(x0)0。

  5. 導數在實際生活中的應用:

  實際生活求解最大(小)值問題,通常都可轉化為函式的最值. 在利用導數來求函式最值時,一定要注意,極值點唯一的單峰函式,極值點就是最值點,在解題時要加以說明。

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  一、求導數的方法

  (1)基本求導公式

  (2)導數的四則運算

  (3)複合函式的導數

  設在點x處可導,y=在點處可導,則複合函式在點x處可導,且即

  二、關於極限

  1、數列的極限:

  粗略地說,就是當數列的項n無限增大時,數列的項無限趨向於A,這就是數列極限的描述性定義。記作:=A。如:

  2、函式的極限:

  當自變數x無限趨近於常數時,如果函式無限趨近於一個常數,就說當x趨近於時,函式的極限是,記作

  三、導數的概念

  1、在處的導數.

  2、在的導數.

  3、函式在點處的導數的幾何意義:

  函式在點處的導數是曲線在處的切線的斜率,

  即k=,相應的切線方程是

  注:函式的導函式在時的函式值,就是在處的導數。

  例、若=2,則=()A-1B-2C1D

  四、導數的綜合運用

  (一)曲線的切線

  函式y=f(x)在點處的導數,就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率.由此,可以利用導數求曲線的切線方程.具體求法分兩步:

  (1)求出函式y=f(x)在點處的導數,即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率k=;

  (2)在已知切點座標和切線斜率的條件下,求得切線方程為_。

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