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數學積和差公式

數學積和差公式

  數學積和差公式

  sinαsinβ=-[1][cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意等式右邊前端的負號】

  cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

  sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

  cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

  這裡用到了sin(-α)=-sinα 即sin(α-β)= - sin(β-α)

  證明

  法1

  積化和差恆等式可以透過展開角的和差恆等式的右手端來證明。

  即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明:

  sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

  =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

  =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

  其他的3個式子也是相同的證明方法。

  (該證明法逆向推導可用於和差化積的'計算,參見和差化積)

  法2

  根據尤拉公式,e^ix=cosx+isinx

  令x=a+b

  得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)

  所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

  sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

  編輯本段

  記憶方法

  積化和差公式的形式比較複雜,記憶中以下幾個方面是難點,下面指出了特點各自的簡單記憶方法。

  這一點最簡單的記憶方法是透過三角函式的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域應該 是

  [-2,2],而積的值域卻是[-1,1],因此除以2是必須的。

  也可以透過其證明來記憶,因為展開兩角和差公式後,未抵消的兩項相同而造成有係數2,如:

  cos(α-β)-cos(α+β)

  =(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

  =2sinαsinβ

  故最後需要除以2。

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