探究數學在經濟學中的運用有哪些
數學在經濟學中的作用越來越大，主流的經濟學研究都離不開數學。國際知名的經濟學雜誌，如《美國經濟評論》除了每年美國經濟學會年會的特刊之外，幾乎每一篇文章都有數學。自1969年諾貝爾經濟學獎頒佈以來，獲獎者中有不用數學的，但人數要少得多。截至2007年，諾貝爾經濟學獎共頒佈了39屆，62人獲獎，而完全不用數學的經濟學家只有5位。
在新古典經濟學之前，從19世紀30年代，就有學者採用數學；邊際革命時期，數學有進一步的運用；但在新古典經濟學之後，數學在經濟學中的運用不斷強化，至少表現在三個不同的方面：一是計量經濟學的發展以及在經濟理論實證研究中的作用；二是數理經濟學的發展；三是博弈論改寫經濟學。從語言經濟學角度看，數學儀僅是經濟學思想或原理表達的一種語言，它本身必須符合經濟學的節約原則，即表達相同的思想或觀點採用最少或者最簡練的語言，在語言文字相同的條件下要表達儘可能多的觀點或思想。
本文考察了數學在經濟學中的運用，分析數學在經濟學中到底起什麼作用，並採用語言經濟學分析數學在經濟學中運用的趨勢。
一、數學在經濟學中的運用：歷史回顧
大體上，數學在經濟學中的運用可以分為三個不同的階段：邊際革命之前，數學開始在經濟學中運用；邊際革命到新古典經濟學之間，數學開始顯現出在經濟學中運用的重要性；新古典經濟學之後，數學大量運用於經濟學。
（一）邊際革命之前：萌芽階段
一般認為，數學在經濟學中的運用可以追溯到18世紀威廉·配第的《政治算術》和魁奈的《經濟表》。配第試圖以簡單的統計分析為政治經濟學提供“精確性”基礎。他努力“用數學、重量和尺度的詞彙表達自己想說的問題”。魁奈的《經濟表》試圖透過理性演繹和數學運算去發現人類社會的“自然秩序”。1826年，屠能（Johann Heinrich yon Thtinen）發表《孤立國》，首次利用了微積分和其他一些變數數學公式來表達若干經濟範疇和原理，開啟了運用數學模型研究問題的先河。這時，經濟學家採用數學僅是作為經濟理論的補充。
真正將數學運用於經濟學，並且認為數學將在經濟學中佔有重要地位的是古諾。1838年，古諾發表了《財富理論的數學原理研究》。在該書中，他率先運用函式形式表達了商品的需求同價格之間及產量同成本之間的依存關係。例如，古諾記市場需求為d，市場價格為P，則需求作為價格的函式，就可以記為d=f（p）。古諾著作的偉大成就直到20世紀50年代之後才被充分肯定。1854年，戈森發表《交換規律的發展和人類行為準則》，極力主張應用變數數學方法，並將這種方法看作是唯一健全的經濟學方法，並且運用數學建立起了“戈森定律”。戈森的數學非常好，寫下了大量的數學符號、公式和圖表，並且自比“經濟學上的哥白尼”。
在這一時期，大量將數學運用經濟學研究的還有馬克思。在《資本論》中，馬克思在很多地方採用採用數學語言表述自己的觀點和理論，但主要足採用簡單符號、具體數字以及簡單的數學運算來說明不同變數之間的關係。如簡單再生產和擴大再生產條件的分析門、利潤率和剩餘價值率關係的分析哺J、週轉對利潤率影響的分析哺。
（二）邊際革命到新古典經濟學之前：地位提升階段
邊際革命的三位代表人物傑文斯、瓦爾拉斯和門格爾都強調對數學的運用，此後，埃奇沃思、馬歇爾、帕累託、克拉克等採用數學方法研究經濟理論有了進一步發展。
1871年，傑文斯出版《政治經濟學理論》，透過四個命題，強調了數學在經濟學中的重要地位：（1）經濟學的本性是數學的；（2）變數無法精確測量並不妨礙經濟學的數學性；（3）經濟學所用方法主要是微積分；（4）數學方法是使經濟學進步的必要條件。“經濟學如果是一種科學，它必須是一種數學的科學。”一3同年，門格爾發表《國民經濟學原理》，提出了經濟學中的“邊際分析法”¨0|。瓦爾拉斯曾經發表《交換的一種數學理論的.原理》的論文，提出了現在的“邊際效用”理論，在1874出版《純粹經濟學要義》，利用代數方程式，建構出了一套經濟學的分析方法，並提出了一般經濟均衡理淪，為現在意義上的數理經濟學的產生奠定了基礎¨¨。
此後，1881年英國經濟學家埃奇沃思出版了《數學心理學》（Mathematical Psychics），試圖用抽象的數學來刻畫邊際效用論。在這部著作中，他提出了描述商品交換的著名的“埃奇沃思方盒（EdgeworthBox）”。馬歇爾最早足作為一個數學家開始學術生涯的，在其1890年出版的《經濟學原理》（上下卷）中，給出現代微觀經濟學教科書中許多“既直觀易懂、又不失數學嚴謹的曲線圖像”。在義大利，最早作為工程師的帕累託受潘塔萊尼奧影響，完全採用數學方法研究瓦爾拉斯的一般均衡理論，提出了“帕累托最優條件”，並在1911年為《數學百科全書》撰寫了以“數理經濟學”為題目的文章。正是從這個時期開始，數理經濟學作為一門學科的名稱流傳開來。在美國，邊際效用學派的理淪得到了克拉克的發展和傳播。1892年，作為數學家的歐文·費雪出版了《價值與價格的數學研究》，成為美國比較早採用數學方法研究經濟學的學者。
（三）新古典經濟學之後：大行其道階段
新古典經濟學之後，數學在經濟學中大行其道，達到了專門化、技術化和職業化的程度，甚至到了登峰造極並主宰經濟學的地步，數學化成為經濟學發展的主流趨勢。
1.數理經濟學的建立並得到迅速發展
數理經濟學在20世紀的發展，是由許多事件推動的。其中，最重要的可能要數一般經濟均衡理論的證明。瓦爾拉斯提出一般經濟均衡之後，並未給出準確的數學證明。此後，許多學者致力於該定理的證明。
真正將微積分等現代數學技術運用於表述經濟理論的是希克斯的《價值與資本》（1939年）。在這本書中，希克斯以嚴格的數學對序數效用淪、無差異曲線等概念和理論進行了系統的闡述和完善。1947年，薩繆爾森在《經濟分析基礎》中，採用數學模型和數學推理，對生產者行為、消費者行為、國際貿易、公共財政、收入分配等各種問題，用求極大值、極小值的方式加以推導。進入20世紀50年代以後，數理經濟學的基礎由微分轉變為集合淪等新的數學工具。在這種轉變中，影響最大的首推阿羅的《社會選擇與個人價值》（1951）。該書的主題是社會選擇理論的公理化，但在其研究過程中，運用集合論技巧，為一般均衡的研究提供了一個框架。
從此之後，為了無窮地追求嚴謹性、普遍性和簡潔性，經濟學走向了公理化、形式化和數學化的不歸之路，數學化幾乎深入經濟學的所有領域。
2.計量經濟學的建立和發展
計量經濟分析是20世紀20年代之後發展起來一項重要經濟學分析技術或工具。計量經濟學（E—conometrics）是由弗瑞希在1926年發明的，借用了“計量生物學（Biometrics）”的做法。計量經濟學會在1930年得以成立，不久《計量經濟學》（Econometriea）雜誌出版。第一屆諾貝爾經濟學就授予了弗瑞希（另一個是丁伯根，他也可以看作計量經濟學的奠基人。1939年，他編制了世界上第一個宏觀計量經濟模型）。1955年，克萊茵和金德爾伯格共同構建了一個包括22個方程的美國年度經濟的“克萊囚——金德爾伯格模型”，他們還試圖把世界上個OECD國家、7個經互會國家和其他發展中國家的模型聯絡起來，構建·個包含5000個方程的全球宏觀經濟模型，以分析國際問的經濟波動及擴散，並預測全球貿易與資本流向。
20世紀60年代，是計量經濟學模型發展的黃金時期。但由於計量模型的預測常常失敗，20世紀60年代中期以後，計量經濟分析的重心便從模型引數的估計和檢驗轉向到模型設定的方法論討論，強調對計量經濟分析方法與技術的思想本身進行研究，強調對模型同經濟理論和統計學原理的一致性進行探討，運用的範圍也從傳統的宏觀經濟領域轉向微觀領域及其他領域。計量經濟學在分析方法得到迅速發展的同時，大量運用於經濟學理論命題的實證檢驗。
3.博弈論改寫經濟學
在經濟學家中，奧斯卡·摩根斯坦最早清楚而全面地認識到，考慮經濟行為者決策“互動”性質的重要性。他與馮·諾伊曼於1944年共同出版的《博弈論與經濟行為》，成為博弈論的奠基之作。這本書一問世，就被稱為20世紀前50年人類最偉大的科學成就之一。一直到現在，這本書也是博弈淪的經典著作。
在馮·諾伊曼和摩根斯坦的貢獻的基礎之上，約翰·納什於1951年引入了合作博弈和非合作博弈的區分，併為非合作博弈提出了被後人命名為“納什均衡”的一般性解概念，從而為博弈論奠定了基礎。
哈薩尼於1967—1968年把分析方法拓展到不完全資訊博弈，從而為理性行為的分析和資訊經濟學奠定了堅實的基礎。
20世紀70年代以前，博弈論受到的關注相對較少。確切的說，博弈論真正受到經濟學界的普遍重視並被視為經濟理論的重要組成部分，還只是20世紀80年代之後的事情。博弈論的運用包括不完全競爭、市場均衡、談判、產品質量、保險、委託——代理關係、歧視、公共物品等微觀領域，並且已擴充套件到宏觀經濟學、產業組織理論等等。有些經濟學家還利用博弈論方法，來分析合作、利他主義、信任、懲罰、報復之類的現象，力圖探討社會規範、制度如何產生的棘手問題。
然而，在數學大量運用到經濟學中的同時，也有很多經濟學家對數學在經濟學中的過度運用提出了批評，並明確提出了數學在經濟學中只能夠適度運用。馬歇爾在《經濟學原理》中雖然大量運用了數學，但也同時提出，“經濟學上是沒有進行一長串演繹推理餘地的。經濟研究中經常使用數學公式，初看起來似乎主張與此相反的東西；但是，經過研究之後，我們發現這種主張是虛妄的，也許除了某理論數學家為了數學遊戲而使用經濟學假設的場合；因為那時他所關注的是，根據經濟研究已提供了宜於使用數學方法的材料這一假設來證明這種方法的潛力。他對這種材料不負技術上的責任，而且往往不知道這種材料足如何不足以承擔他那強大機器的壓力。”¨21投入產出方法的創始人列昂惕夫在對《美國經濟評論》1972年到1981年10年內發表的所有論文采用數學的情況進行研究後提出，“專業經濟學雜誌中數學公式連篇累牘，引導讀者從一系列多少有點合理但卻完全武斷的假設走向陳述精確但卻不切合實際的結論”，“經濟學系正在培育出一代傻瓜學者，他們擅長於難懂的數學，但對實際經濟生活卻一無所知。”馴1993年的諾貝爾經濟學獎威廉·福格爾也曾經指出，“近年來，人們一直把經濟理論與經濟行為的數學模型相提並論。把模型和理論混為一談是不幸的。”透過上面的分析，數學在經濟學中的運用從最初少數人使用並受到廣泛批評，到後來的地位逐漸提高，並日漸成為經濟學的主流方法，以至於過度數學化而受到理性地批評，即經濟學研究需要數學方法、離不開數學方法，但數學不是經濟學，經濟學者採用數學必須以解釋現實、分析現實為基本的出發點。
二、數學在經濟學中運用：語言經濟學的視角
從工具主義的角度，數學可以看作經濟學家表述理論、建立理論的重要工具之一。數學在經濟學中大量運用，推動了經濟學理論的發展。但經濟學決不是數學，數學在經濟學中大量運用並不表示經濟學離不開數學。數學也決不能夠代替經濟學。
簡單說，語言經濟學就是對語言的經濟學分析或從經濟學的角度研究語言問題，即語言的採用也要滿足經濟學原則。經濟學強調的是在資源的最優配置，在投人既定的條件下產出最大化，或產出既定的條件下成本最小化。語佔經濟學也強調在語言文字既定的條件下能夠表達最多的內容和意思，在表達內容和意思相同的情況下，能夠採用最節約、最簡練的語言。因此，簡練作為語言表達的一般原則就體現了語言經濟學的意思。
就經濟學的語言而言，主要是文字表述、數學圖形和數學符號闡述，就同樣的經濟學理論的推導和表述而言，在不同的經濟學語言之間選擇的時候，也要遵循經濟學的原則。也就是說，選擇文字表述、數學圖形還足數學符號闡述，在對理論的推導沒有影響和理論內容的表達完全相同的情況下，要追求最節約的原則，即用最短的篇幅或最精練的推導或闡述既定的思想或理論。如果僅僅採用非常簡單的文字就能夠將相關的理論推匯出來並闡述清楚，未必要採用高深的數學或其他表達，這實際上體現的是文字邏輯的魅力。如果僅僅用文字無法推導或論證相關的命題或假說，就需要考慮採用數學圖形或數學符號。對於某個命題或假說的論證和表述，在數學圖形和數學符號之問也存在選擇，也要遵循簡練節約的原則。對推導或表述相同的命題或假說，如果圖形簡練就採用圖形，如果數學符號簡練就採用數學符號。相反，如果數學圖形或數學符號推導比文字表述更加節約、更加簡練的話，就採用數學圖形和數學符號。
上面的分析有一個假定，所有的主體對文字、數學圖形和數學符號的接受都是相同的，即在經濟學理論的交流和傳遞中，這些不同的語言對所有的人都是無差異的。然而，不同的學者、不同的主體對語言文字、數學圖形和數學符號的學習和接受能力足不同的，那麼我們不能夠假定所有的主體都是同質的。但語言是用於交流的、傳遞資訊的，經濟學的語言足為了交流或傳遞經濟學思想或理論，如果一種語言僅有少數人能夠明白的話，那麼這種語言就可能起不到交流或傳遞思想的作用，這就違背了在語言文字既定的條件下表達或傳遞最多思想或向最多的人表達或傳遞最多思想的經濟學原則。
對於經濟學研究而言，數學在命題或假說的推導方面有非常重要的作用，因為數學的邏輯非常嚴密，但數學作為一種工具或理性的邏輯與現實的客觀世界存在差別。在數理經濟學、博弈論以及計量經濟學中，都有大量的假定前提，比如博弈論假定所有的博奔主體都足同質的，都是完全理性的，在這種假定下，所有主體都跟自然界中的“沒有生命”、“沒有理性”或者“不能夠存在個體理性”的物體一樣，這對自然科學的研究的確適用，但對於研究複雜世界中能夠進行理性思考並且理性思考能力對存在差異的個體而言，適用性有多大或者在多大程度上適用也是一個問題。這樣，採用數學語言推匯出或表述的經濟學與現實世界就不可避免地存在偏離，而採用數學語言對研究、發現和表述經濟學命題或假說又是非常重要的，那麼這就需要權衡（tradeoff），即在數學可能造成的對經濟學真實命題或假說的扭曲與數學對經濟學命題或假說推導或發現的重要性之間進行比較。這實際上也體現了在經濟學中數學語言選擇或應用到什麼程度的問題也需要進行經濟學的分析。
從經濟學中數學運用的發展來看，數學要麼是深化經濟學研究，要麼是便於表述經濟學理論、命題和假說的。從經濟學的初級到中級到高階的發展，深化、細化了研究的問題和論證的過程，因為只有採用數學作為推理和表述的工具才能更加準確、深入地闡明經濟學的理論和命題，從人們對經濟學數學語言的接受來看，也體現了數學作為經濟學語言的交流和傳遞資訊的功能。語言具有網路性，即隨著接受者的逐漸增多，其作用會越來越大，對接受者的效用也越來越大。在古諾最早採用數學語言表述財富理論的時候，沒有經濟學家接受，是囚為其他經濟學家對古諾表達經濟學理論和思想的數學語言不知道；到邊際革命的時候，門格爾、瓦爾拉斯和傑文斯等在經濟學中採用數學，雖然大多數經濟學家沒有采用數學，但抵制的程度明顯減弱；到20世紀之後，隨著博弈論、計量經濟學等等的發展，希克斯於1939年出版《價值與資本》、薩繆爾森1947年出版《經濟分析基礎》，遭到的抵制與反對就更少了；20世紀50年代之後，越束越多的經濟學採用數學語言建立經濟模型、分析經濟問題，數學成為大多數經濟學家採用的工具和語言，以至於形成了不採用數學作為基本的工具和語言就無法融入主流經濟學的狀況，要在世界頂級的經濟學雜誌發表論文必須採用數學作為工具和語言，從而形成了經濟學已經離不開數學的局面。
三、結語
數學作為一種工具和方法，在經濟學的研究中得到了廣泛的應用。中國經濟學者也正在越來越多地採用數學方法。但數學畢竟只是一種工具，是經濟學表述和推理的一種語言，它在經濟學中的運用也必須貫徹經濟學基本的原則，即節約，要將有限的時間和資源配置到最有效率的地方，而不是毫無限制、毫無目的的採用數學，更不能為數學而數學，否則就脫離了經濟學研究的本來目的。經濟學是致用之學，是為解釋現實問題，預測未來服務的，如果經濟學脫離了現實的基礎，那麼就違背了基本的經濟學原則。
[參考文獻]
[1]威廉·配第。政治算術[M].北京：商務印書館，1978.
[2]魁奈。魁奈經濟表及著作選[M].北京：華夏出版社，2006.
[3] 屠能。孤立國同農業和國民經濟的關係[M].北京：商務印書館，1986.
[4] 古諾。財富理論的數學原理研究[M].北京：商務印書館，1994.
[5]戈森。人類交換規律與人類行為準則的發展[M].北京：商務印書館，1997.
[6] 史樹中。數學與經濟[M].長沙：湖南教育出版社，1990.
[7] 馬克思。資本論（第2卷）[M].北京：人民出版社，1975.
[8] 馬克思。資本論（第3卷）[M].北京：人民出版社，1975.
[9] 傑文斯。政治經濟學理論[M].北京：商務印書館，1984.
[10] 門格爾。國民經濟學原理[M].上海：上海世紀出版集團，2005.
[11]瓦爾拉斯。純粹經濟學要義[M].北京：商務印書館，1997.
[12]馬歇爾。經濟學原理[M].北京：商務印書館，1965.
[13] 經濟學家雜誌主編。現代經濟學的最新發展[J].經濟科學出版社，1987. [14] 威廉·福格爾。道格拉斯·諾思和經濟理論。見約翰·德勒巴克和約翰·奈。新制度經濟學前沿[M].北京：經濟科學出版社，2003.
【探究數學在經濟學中的運用有哪些】相關文章：