2017年小學六年級數學第五單元《認識比》的教案設計
在掌握了除法和分數意義的基礎上，教學一些關於比的基礎知識，能夠發展對除法和分數的認識，進一步溝通知識間的聯絡，為以後教學比例打好基礎。下表是本單元教學內容的編排。
比的意義、表示方法、各部分名稱、求比值（例1、例2）
比的基本性質、化簡比（例3、例4） 練習十三
按比例分配問題（例5） 練習十四
實踐活動
《數學課程標準（實驗稿）》要求在實際情境中理解什麼是按比例分配，並能解決簡單的問題。達到這個要求需要以比的知識為基礎。因此，本單元教材十分重視基礎知識的教學，在編排上有三個特點。
第一，編排四道例題教學比的基礎知識。前兩道例題循序漸進地教學比的意義，先認識兩個同類量的比，再認識兩個不同類量的比，逐漸建立比的概念。後兩道例題教學比的基本性質，從化簡整數比到化簡分數比、小數比，使比的概念得到深化。有了這些紮實的基礎知識，就能解決不同情境裡的、不同方式呈現的按比例分配問題。
第二，聯絡生活和已有經驗，建構比的知識。教學比的意義和性質，有大量資源可以利用。例如幾種物體的份額關係、常見數量關係等。教材用比表示果汁和牛奶的杯數關係，表示白色方格與紅色方格的個數關係；利用路程除以時間等於速度、總價除以數量求單價，理解路程與時間的比、總價與數量的比；聯絡分數基本性質得出比的性質讓學生在應用已有知識的過程中形成新知識，在建立新概念的同時深化原有認識。
第三，應用比的知識解決實際問題。解答按比例分配問題，要把已知的各部分的比看成各部分的份數，轉化成求一個數的幾分之幾是多少的問題。測量大樹、旗杆、樓房的高，要發現並理解同一時間、相近地點，杆長與影長的比是一定的。可見，比的概念是解決實際問題必不可少的基礎知識。教材引導學生探索解決問題的策略與方法，具體應用比的知識，加強了基礎知識的教學。
一、 寫比感悟意義。
在用比表示兩個具體數量的關係時，一般有兩種情況： 一種是表示兩個同類數量間的倍數關係，另一種是表示兩個不同類的數量間的關係。教材編排兩道例題，分別教學這兩種情況，然後概括出比的意義。
例1有2杯果汁和3杯牛奶，怎樣表示兩個數量之間的關係是一個開放的問題。猴子卡通從相差關係思考，小鳥卡通從倍數關係思考。教材接著小鳥卡通的思考，由果汁的杯數相當於牛奶的2/3，引出果汁與牛奶杯數的比是2比3；由牛奶的杯數相當於果汁的3/2，引出牛奶與果汁杯數的比是3比2。結合這兩個比，講了比的表示方法（寫法與讀法）以及各部分名稱。教學如果聯絡2/3是23的結果，3/2是32的商，學生就能初步感受比與分數有關，分數與除法有關，因此比與除法有聯絡。如果結合2杯、3杯這些具體數量來體會2∶3和3∶2，比較它們的相同與不同，對比的認識就能深刻一些，寫出比也方便一些。
第68頁試一試的每個圖，都把洗潔液看作1份，水分別有這樣的8份、4份、3份和1份，這是對四個比的`意義的具體解釋。說出每種溶液裡水的體積是洗潔液的幾倍，洗潔液的體積是水的幾分之幾，能使學生知道一個數是另一個數的幾倍或幾分之幾都可以用比表示，促進對比的理解。其中洗潔液與水的比是1∶1，表示兩種液體的體積相等，豐富了對比的認識。試一試的設計特點是結合圖意解釋比，進一步感悟比的意義。直觀的圖示為各個比創造了現實情境，賦予各個比具體的內容。解釋比的意義要聯絡圖意，看著比先逐一回答卡通提出的問題，再用幾倍或幾分之幾逐個描述水與洗潔液的體積關係，必須把兩層意思都歸結到相應的比上去，把學習心向和注意力緊扣在對比的體驗上。
例2先讓學生分別計算小軍、小偉的行走速度，引起對路程時間=速度的回憶。然後教材指出，可以用比表示路程和時間的關係，分別寫出了兩人走的路程和所用時間的比是900∶15、900∶20，讓學生感受兩個不同類數量間的除法關係也可以用比表示。
大象卡通的提問兩個數的比可以表示什麼，一方面引導學生反思兩道例題裡的比，體會它們都表示兩個數相除，從而概括出比的意義。另一方面透過路程除以時間的商是速度，引出比值的概念。說出例1、例2中各個比的比值，能進一步領會比的意義，鞏固對比值的認識。
第69頁試一試把3∶5改寫成除法算式、改寫成分數，是溝通比、除法與分數之間的聯絡，目的是加強對比的認識。把比寫成除法算式，是根據比與除法的關係，而把除法算式寫成分數是舊知識。把3∶5寫成3/5，教學了比與分數的關係。這裡的3/5如果看作3∶5的比值，它是一個數；如果看成3∶5的另一種表示，它仍然是比。教材特別強調，如果把2∶3寫成2/3，應該讀作2比3。
比、除法、分數的相互關係重在理解，是必須掌握的基礎知識，要透過改寫來體會和掌握。至於比、除法與分數的不同，在改寫中也能有所感受，不必刻意去區別。
二、 求比值發現比的基本性質。
例3教學比的基本性質，用表格呈現了4瓶液體的質量和體積。教學活動從寫出各瓶液體質量和體積的比，並求出比值開始。先把比值相等的3個比寫成等式，再得出比的基本性質。由於有分數的基本性質和除法商不變規律的經驗，尤其是提示了聯絡分數的基本性質想一想，學生理解比的性質應該是順利的。教材編寫放得很開，正是出於上面的考慮。
比較4∶5、16∶20和40∶50，看出4∶5比另兩個比簡單，體會它的前項與後項都是整數，而且只有公約數1，不能再化簡了。理解最簡單的整數比的含義，能自然地過渡到化簡比的教學中去。
例4教學化簡比，三小題分別是化簡整數比、分數比和小數比。在虛線框裡表達了化簡的關鍵步驟，並提出為什麼除以（或乘）這個數的問題，引導學生理解化簡比的思路和要領。化簡整數比，一般把比的前項和後項同時除以它們的最大公因數，能較快地得到最簡單的整數比。如12∶18=（126）∶（186）中的6是12和18的最大公因數。當然，在化簡12∶18時，前項和後項先同時除以2，再同時除以3，也是可以的。化簡分數比和小數比，一般先化成整數比，再化成最簡單的整數比。如5/6∶3/4=5/612∶3/412，這裡的12是5/6和3/4的公分母，比的前項與後項都乘它們的公分母，是為了把分數比化成整數比。再如1.8∶0.09=(1.8100)∶(0.09100)，前項、後項都乘100，是為了把小數比化成整數比，是著眼於0.09考慮的。教材寫出了12∶18化簡的結果是2∶3，突出必須是最簡單的整數比。把5/6∶3/4的結果讓學生寫，體驗只有同時乘公分母才能把分數比化成整數比。讓學生接著完成1.8∶0.09的化簡，從中理解化成的整數比180∶9不是最簡整數比，還要繼續化簡。
三、 轉化解答按比例分配問題的策略。
按比例分配是把一個數量按照一定的比進行分配。解決一些常見的、較簡單的按比例分配問題，能在實際應用中加強比的概念。
按比例分配問題可以採用不同的思路和方法來解答。例5的編排在建立比的概念之後，適宜用比的知識解答。兔子卡通把比看作份數，小鳥卡通把比看作分數，都是從3∶2的具體含義出發，經過推理形成解題思路的。也可以先在教材的方格圖上，透過塗色得到啟發。如果每次塗5個方格，其中3個紅色方格、2個黃色方格，那麼要6次（305=6）剛好塗完。所以紅色方格一共有3053=18(格)，黃色方格一共有3052=12（格）。如果把方格圖裡的3行（列）塗紅色、2行（列）塗黃色，那麼就能直觀看到紅色方格是30格的3/5，黃色方格是30格的2/5，所以兩種顏色的格數分別用303/5和302/5計算。
兔子卡通和小鳥卡通的解法似乎不同，其實是相通的。首先是思路相通，都按下圖的線索思考。
紅色與黃色方格數的比是3∶2紅色方格佔3份，黃色方格佔2份，30個方格是5份紅色方格佔總格數的3/5，黃色方格佔總格數的2/5
其次是演算法相通，3053可以看成求30的3/5是多少，3052就是求30的2/5是多少。溝通兩種解法的聯絡，要提倡小鳥卡通的方法，突出按比例分配問題轉化成求一個數的幾分之幾是多少的問題。
試一試裡出現了1∶2∶3，對連比的概念不需要作過多解釋。學生會從兩個數的比來體會這個連比的含義，只要能夠說出紅色方格佔1份、黃色方格佔2份、綠色方格佔3份，就能應用解答例5的經驗完成這道題。卡通的問題三種顏色的方格各佔方格總數的幾分之幾，是引導學生用分數乘法解決這個實際問題。
練一練第2題給出了幼兒園大班、中班、小班各有的人數，把180塊巧克力按班級人數的比分配。這道題變式呈現按比例分配的問題，沒有直接給出班級人數比，要求學生根據人數先想出比，然後按比例分配。這道題還是解答練習十四第2、8題的平臺。
練習十四第6題根據一個已知的比，聯想出一些有關的比或分數，一方面是鍛鍊發散思維，培養轉化能力。另一方面是加強比的概念，為解答第7、8題作思路鋪墊。如第7題，藥粉和水的質量比是1∶40，由此可知藥粉質量是水的1/40，水的質量是藥粉的40倍。聯想的這些數量關係，可以用於解答這道題。
四、 發現、應用規律實踐活動的重心。
實踐活動《大樹有多高》測量樹、旗杆、樓房的高度。這些物體比較高，它們的高度很難用尺直接度量，要透過在同一地點，同時測得的竿長和影長的比值相等的規律，間接獲得。發現和應用這個規律是本次實踐活動的重點。為此，教材把活動設計成兩部分。
在量量比比這部分逐步發現規律。首先在太陽光下，把幾根同樣長的竹竿直立在地面上，量出每根竹竿的影長。設計這一活動有三個目的：一是懂得什麼叫影長；二是學會測量影長；三是體會同一時間、同樣長的竹竿的影長相等。教材利用圖畫示範了怎樣把竹竿直立在地面上、怎樣量影長，還透過卡通的問題引導學生比較影長，有所發現。然後把幾根長度不同的竹竿直立在地面上，按照表格的要求，分別測出每根竹竿的長度及影長，算出竿長與影長的比值，發現竹竿有長、有短，影長有長、有短，但各根竹竿的竿長和影長的比值是相等的。這就是第78頁下面的結論。
在議議做做這部分應用規律。教材沒有把怎樣應用規律測量樹高、樓房高的方法直接告訴學生，而是創設一系列的問題情境，引導學生體會方法。第一步推想3米長的竹竿，直立在地面上的影長是多少。根據前面的測量和求得的比值，推想是多樣的，可以估計，也可以計算。如3米長度大約是前面某根竹竿長度的幾倍或幾分之幾，3米竹竿的影長就是前面那根竹竿影長的幾倍或幾分之幾。又如根據3米∶ 影長=確定的比值列算式計算。讓學生推算，是體會竿長與影長的比值，可以用來計算同一時間、相近地點其他竹竿的竿長或影長。即前面發現的規律可用於測量物體的高度。第二步想辦法測量大樹的高。要透過交流，整理思路：測出1根竹竿的長度和影長，求出竿長與影長的比值；再測出樹的影長，求它的高。第三步用上面的方法，實際測量校園裡的一棵大樹的高。為了便於操作和計算，教材設計了一張表格，把測量得到的竹竿竿長、影長和大樹影長填在表格裡。透過填表整理資料，想到演算法。第四步是延伸。用同樣的方法測一測、算一算樓房和旗杆的高。怎樣比較正確地測量樓房的影長，需要教師給予指點。第五步是沒有同時測量竹竿的影長和大樹的影長，用上面的方法計算樹的高，不會得到準確結果。突出必須同一時間測量影長。
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