關於幾何平均數的意義和用途
根據資料的條件不同，幾何平均數有加權和不加權之分。中國古代數學書中提到的矩形面積時往往用長寬的幾何平均數來表示。本文小編精心收集的幾何平均數的意義，僅供參考！
我們知道算術平均數，(a+b)/2,體現純粹數字上的關係，
而根號ab,稱為幾何平均數，這個體現了一個幾何關係，
作一正方形，使其面積等於以a,b為長寬的矩形，則該正方形的邊長即為a、b的幾何平均數
中國古代數學書中提到的矩形面積時往往用長寬的幾何平均數來表示。
計算幾何平均數要求各觀察值之間存在連乘積關係，它的主要用途是：
1、對比率、指數等進行平均;
2、計算平均發展速度;
其中：樣本資料非負，主要用於對數正態分佈。
3、複利下的平均年利率;
4、連續作業的車間求產品的平均合格率。
【延伸閱讀】
調和平均數的意義
①調和平均數易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大。
②只要有一個標誌值為0，就不能計算調和平均數。
③當組距數列有開口組時，其組中值即使按相鄰組距計算，假定性也很大，這時的調和平均數的代表性很不可靠。
④調和平均數應用的範圍較小。在實際中，往往由於缺乏總體單位數的資料而不能直接計算算術平均數，這時需用調和平均法來求得平均數。
加權平均數的意義
加權平均數的概念在描述統計學中具有重要的意義，並且在其他數學領域產生了更一般的形式。
如果所有的權重相同且等於一，那麼加權平均數與算術平均數相同。加權平均數作為算術平均數的更廣義的表現形式，加權平均數具有一些看起來違反常理的性質，例如辛普森悖論。
術語加權平均數通常指的是加權算術平均數，但是其他平均數的加權版本也可以計算出來，例如加權幾何平均數和加權調和平均數。
算術平均數的意義
①算術平均數是一個良好的集中量數，具有反應靈敏、確定嚴密、簡明易解、計算簡單、適合進一步演算和較小受抽樣變化的影響等優點。
②算術平均數易受極端資料的影響，這是因為平均數反應靈敏，每個資料的或大或小的變化都會影響到最終結果。
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拓展
教學指導思想：新的教學理念下課堂教學已經是一個多維度多中心的整體。教師學生都是參與課堂的主體，而教學設計與實驗則是課堂的載體，它將排程師生共同參與教學活動，並在參與中儘量獲取知識與能力上的探討，共鳴與思維能力的昇華與內化。教學應該揭示事物發展規律的呈現，注重學生把數學問題取之生活，用之生活。 本案將從現實中提取生活素材，引導學生在生活去發現問題，提煉猜想歸納，分析解決，得出事物或者問題發展規律；在此過程中學生得到的是自身發現能力的挖掘，建構模型的開發，問題解決能力的提高以及綜合創新與創造力的潛能訓練，這將有利於學生的素質和終身學習能力的培養。
一、教材分析
1、教材的地位和作用
算術平均數與幾何平均數是不等式這一章的核心，對於不等式的證明及利用均值不等式求最值等應用問題都起到工具性作用。透過本章的學習有利於學生對後面不等式的證明及前面函式的一些最值值域進一步研究，起到承前啟後的作用。
2、教學內容
本節課的主要教學內容是透過現實問題進行數學實驗猜想，構造數學模型，得到均值不等式；並透過在學習算術平均數與幾何平均數的定義基礎上，理解均值不等式的幾何解釋；與此同時在推理論證的基礎上學會應用。
3、教學目標
教學目標是基於對教材，教學大綱和學生學情的分析相應制定的。在新課程理念的指導下，更為關注學生的合作交流能力的培養，關注學生探究問題的習慣和意識的培養。因此，結合本節課內容與實驗，設計本節課教學目標如下：
知識與技能：對於算術平均數與幾何平均數的理解以及定理的掌握；
過程與方法：透過情景設定提出問題，揭示課題，培養學生主動探究新知的習慣；引導學生透過問題設計，模型轉化，類比猜想實現定理的發現，體驗知識與規律的形成過程；透過模型對比，多個角度，多種方法求解，拓寬學生的思路，最佳化學生的思維方式，提高學生綜合創新與創造能力。
情感態度價值觀： 培養學生生活問題數學化，並注重運用數學解決生活中實際問題的習慣，有利於數學生活化，大眾化；同時透過學生自身的探索研究領略獲取新知的喜悅。
教學重點： 算術平均數與幾何平均數的理解以及定理的掌握；
教學難點：算術平均數與幾何平均數以及定理發現探索過程的構建及應用；
教學關鍵：學生對於實驗的實踐及函式模型的構建。
教學模式：探究式 合作式
二、學情分析
學生已經掌握了不等式的基本性質，高中的學生已經具有較好的邏輯思維能力，因此他們希望能夠自己探索，發現問題和解決問題。現在經歷課改的學生不僅僅停留在接受學習的框框內，他們更需要充滿活力與創造發現的課堂。課堂實驗可能存在問題：對EXEL軟體不夠熟練。對於模型構造思路不夠清晰。
三、教法分析
不同於傳統的講授課，基於數學實驗的教學實踐課，教師的教應有瞻前性，應該在實驗課前讓學生對於軟體的應用有充分的準備，並進行分組討論得到數學模型。依據前蘇聯教育家贊可夫"問題教學法"確定本堂課所採用的教學方法是"生活中發現問題，實驗中分析問題，設計中解決問題，總結問題，論證後延拓問題"五環節教學方法，運用這種教學方法能更好地使學生經歷實驗的發生，發展和"再創造"的全過程，主動地吸收新知識的精髓。
四、學法指導
新的教學理念下課堂教學已經是一個多維度多中心的整體。教師學生都是參與課堂的主體，而教學設計與實驗則是課堂的載體，它將排程師生共同參與教學活動，並在參與中儘量獲取知識與能力上的探討，共鳴與思維能力的昇華與內化。教學矛盾的'主要方面是學生的學。學是中心，會學是目的。因此，在教學中要不斷指導學生學會學習。根據數學實驗課的教學特點，這節課主要是教給學生"動手做，動腦想；多訓練，多實踐。"的研討式學習方法。這樣做，增加了學生主動參與的機會，增強了參與意識，教給學生獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學生真正成為教學的主體。透過這樣使學生"學"有新"思"，"思"有所"得"，"練"有所"獲"。學生才會學習數學中體驗發現的成就感，從而提高學生學習數學的興趣；在此過程中，學生學會了交流合作，並學以致用，才能適應素質教育下培養"創新型"人才的需要。
五、實驗內容與實驗程式：
問題：元旦晚會我們學校即將舉行遊園活動，每個班級有一條20米長的紅絲帶在燈光球場圍成一矩形的場地活動，請問大家應該怎麼圍才能使我們班級的場地面積最大
1問題提煉：（用數學語言表達）
2實驗步驟：
A 請根據題目要求選擇整數長度為邊，按照製圖方法繪製5個矩形，並比較面積
B 把上面的矩形按照邊長與面積的不同列表歸納
長度（m）
寬度 （m）
面積 （）
C 根據以上表格資料，請用exel軟體作出柱狀圖，並思考以下問題：
（1）在邊長變化過程中，面積的大小變化情況與趨勢
（2）由這種趨勢請同學們自己猜想總結一個結論。
3 實驗的感言與進一步構造數學模型的思考。
六、教學流程
1，生活問題創設情景：透過生活問題設定情景並構建實驗
2，構建模型解決問題：學生透過合作討論構建函式及不等式解決問題並發現均值不等式
3，定理總結結論表述：用數學語言表達均值不等式並用文字語言總結陳述
4，定理論證課堂練習：用幾何與代數方法分別論證結論並進行課堂練習
5，學習感言教學小結：由學生髮表學習感言，老師總結本堂課的學習過程與學習方法。學習過程：發現問題――實驗猜想――構建模型――發現規律――論證再運用；學習方法：協作探討，自主實驗，猜想證明，發現應用。
七、教學反饋評價
本節課利用生活問題設計數學實驗，是現階段新課程改革的新試點，是學生進行數學研究性學習與自主學習的一重要手段與途徑。
本節課透過生活問題的合作交流探討，學生學習方式有了新的改變；在實驗的構造過程，學生的自主性，實踐性，創造性得到鍛鍊與提高；在實驗過程中學生的分工合作精神更是得到充分的考驗與體現，學生學會了合作與分享；透過對數學模型的構建，學生更加體會進行自主研究，合作學習的樂趣，同時培養了學生創新精神與發現能力。
當然本節課的一個突出點在於從書本某一個知識作為切入點構造生活問題，設計數學實驗，創造性地對教材進行再利用，再編改。使得學生在課堂，課外自主學習與接受知識的方法途徑更加多樣，參與課堂的方式更加深入，更容易透過自己探究體驗發現的樂趣。這是傳統教學所沒辦法達到的。
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