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數學解題方法高中

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怎樣做數學作業才能發揮最大效益

做作業是學生鞏固知識,訓練方法,發展思維的重要的不可缺少的學習環節,它是在老師指導下進行的有目的學習活動。雖然作業天天做,但效果卻大不同。有的同學有章有法,效果顯著,成績上升;有的同學疲於應付,心中厭煩,影響情緒,挫傷熱情,導致成績下降。其實,做作業有個方法或策略的問題,只有把握方法,遵循規律,保質保量,才能事半功倍,提高效益。下面以數學學科為例談談做作業的方法。

一,溫故知新,把握要領

先把書看透,再動手做作業。做作業前,首先溫故有關的知識,回顧概念,掌握要求,瞭解有關的注意事項,明確學習的目的,把握解題的規範化要求,然後再動手做作業,就心中有數,練中學,學中練,達到鞏固目的,強化了知識,提高了能力。

但事實上,我們許多同學沒有這個好習慣,拿到題目就做。這樣,首先是速度慢,效率低。另外,由於概念不清,有的概念理解錯誤,做了題目起不到應有的作用,甚至還有反作用,鞏固了錯誤,在相應方面形成了一個頑疾,為以後學習埋下後患。

二,明確題意,構建思路

題海戰術的最大特點是以做題的數量作為標準,並期望以多取勝。由於高考升學的壓力,不少同學不知不覺的掉進題海,拿到題目不假思索,跟著感覺走,時常出現張冠李戴,答非所問等現象,也會出現漏解或者畫蛇添足,勞而無功。長期下去,最大的壞處是形成不嚴謹的思維習慣,不利於將來的發展。

審題是我們解題的前奏工作,不可忽視,在解題前必須審清題意,分析條件和結論,並且根據條件和結論進行聯想:以前遇到過類似或者部分類似的問題嗎?當時是用什麼方法解決的?在這裡還有效嗎?等等。透過聯想構建解題思路,設計解題程式,把握解題要點,為正確快速解題掃清障礙,奠定基礎。

三,限定時間,一氣呵成

常聽同學抱怨,作業太多,做不完了,有的同學為應付還不惜抄襲作業,影響優秀品質的形成。瞭解下來,問題大多是在時間安排上。覺得辛苦的同學,他們的作業都是在彈性的時間內完成,想做就做些,不想做就玩會兒;或者慢條斯理,認為時間還有的是,等會再完成。有一次,作業量並不大,可是有位同學居然沒完成,他坦誠的說,晚上應該花上半小時就完成,可是當走到電視前時,就自我安慰,看會吧,睡前再做,而到睡前又想起語代老師佈置的“週記”明天早自習要交,只有先寫週記,早自習再做吧,早自習外語老師來檢查背誦,所以就誤了事。

但是,大部分同學還是對數學作業高度重視,應對自如,甚至還學有餘力,額外做了些提高題,所以他們經常要求老師多佈置些作業。調查下來,有兩個是他們的共同特點:一是他們做作業限時完成,不拖拉,乾淨利落,遇到困難,待各項任務基本完成後,再進行鑽研。另一方面,他們做到了心動不如行動。他們拿到問題,常常是立即投入戰鬥,而不是去想今天有多少作業,需多少時間,難度是否太大,能不能完成得了等等。他們遇到難題是先能做多少就做多少,能解決到什麼程度就解決到什麼程度,當解決了問題的部分時,常常會閃出好念頭,悟出問題的解決方案。實際上每解決一點就是向目標靠近一步,這就是“吹盡黃沙始得金”的道理。

四,做後反思,提高效益

有人說題海戰術是臭豆腐,聞的臭,吃的香。題海戰術既然被人普遍使用,肯定有它存在的道理,不能全盤否定。但是它的效益不高的弊端也是很明顯的。對它進行改進也是情理之中,實踐證明解題後反思是提高效益的有效途徑。

首先要反思題意。前面已經介紹了審題的重要性,這裡不再詳述。

其次要反思錯誤。要用批評的眼光去看待自己的解題過程,看看思路是否有問題,概念使用是否正確,計算是否有失誤,思考是否周密等等。有時需要從不同的角度去思考,不同的方法去演算更能發現問題。千萬別把檢查答案當成“自我欣賞”,那麼肯定發現不了錯誤,發現不了錯誤當然就談不上克服錯誤了。

第三要反思方法,解完題後再思考,由於對這個問題的認識有了一定的高度,所以思考出的新方法常常更為簡捷,巧妙,在很大程度上能激勵我們的信心,即使我們發現不了巧思妙解,在思考過程中我們回顧了相關知識,嘗試了許多方法,收穫仍不可小視。

最後還要反思變化。研究性學習已經進入高考,提高探究創新能力已經刻不容緩。許多經典的數學問題可以進行變化,創設探究的契機。這些,大家只要利用原來問題的解題思路進行探索,知道他們都是週期函式。這樣,我們解一題會一類,並訓練了探究,創新能力,較大限度提高了解題的效益。

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為了使回想、聯想、猜想的方向更明確,思路更加活潑,進一步提高探索的成效,我們必須掌握一些解題的策略。

一切解題的策略的基本出發點在於“變換”,即把面臨的問題轉化為一道或幾道易於解答的新題,以透過對新題的考察,發現原題的解題思路,最終達到解決原題的目的。

基於這樣的認識,常用的'解題策略有:熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。

一、 熟悉化策略所謂熟悉化策略,就是當我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時,要設法把它化為曾經解過的或比較熟悉的題目,以便充分利用已有的知識、經驗或解題模式,順利地解出原題。

一般說來,對於題目的熟悉程度,取決於對題目自身結構的認識和理解。從結構上來分析,任何一道解答題,都包含條件和結論(或問題)兩個方面。因此,要把陌生題轉化為熟悉題,可以在變換題目的條件、結論(或問題)以及它們的聯絡方式上多下功夫。

常用的途徑有:

(一)、充分聯想回憶基本知識和題型:

按照波利亞的觀點,在解決問題之前,我們應充分聯想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型,充分利用相似問題中的方式、方法和結論,從而解決現有的問題。

(二)、全方位、多角度分析題意:

對於同一道數學題,常常可以不同的側面、不同的角度去認識。因此,根據自己的知識和經驗,適時調整分析問題的視角,有助於更好地把握題意,找到自己熟悉的解題方向。

(三)恰當構造輔助元素:

數學中,同一素材的題目,常常可以有不同的表現形式;條件與結論(或問題)之間,也存在著多種聯絡方式。因此,恰當構造輔助元素,有助於改變題目的形式,溝通條件與結論(或條件與問題)的內在聯絡,把陌生題轉化為熟悉題。

數學解題中,構造的輔助元素是多種多樣的,常見的有構造圖形(點、線、面、體),構造演算法,構造多項式,構造方程(組),構造座標系,構造數列,構造行列式,構造等價性命題,構造反例,構造數學模型等等。

二、簡單化策略

所謂簡單化策略,就是當我們面臨的是一道結構複雜、難以入手的題目時,要設法把轉化為一道或幾道比較簡單、易於解答的新題,以便透過對新題的考察,啟迪解題思路,以簡馭繁,解出原題。

簡單化是熟悉化的補充和發揮。一般說來,我們對於簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。

因此,在實際解題時,這兩種策略常常是結合在一起進行的,只是著眼點有所不同而已。

解題中,實施簡單化策略的途徑是多方面的,常用的有: 尋求中間環節,分類考察討論,簡化已知條件,恰當分解結論等。

1、尋求中間環節,挖掘隱含條件:

在些結構複雜的綜合題,就其生成背景而論,大多是由若干比較簡單的基本題,經過適當組合抽去中間環節而構成的。

因此,從題目的因果關係入手,尋求可能的中間環節和隱含條件,把原題分解成一組相互聯絡的系列題,是實現複雜問題簡單化的一條重要途徑。

2、分類考察討論:

在些數學題,解題的複雜性,主要在於它的條件、結論(或問題)包含多種不易識別的可能情形。對於這類問題,選擇恰當的分類標準,把原題分解成一組並列的簡單題,有助於實現複雜問題簡單化。

3、簡單化已知條件:

有些數學題,條件比較抽象、複雜,不太容易入手。這時,不妨簡化題中某些已知條件,甚至暫時撇開不顧,先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題,對於解答原題,常常能起到穿針引線的作用。

4、恰當分解結論:

有些問題,解題的主要困難,來自結論的抽象概括,難以直接和條件聯絡起來,這時,不妨猜想一下,能否把結論分解為幾個比較簡單的部分,以便各個擊破,解出原題。

三、直觀化策略:

所謂直觀化策略,就是當我們面臨的是一道內容抽象,不易捉摸的題目時,要設法把它轉化為形象鮮明、直觀具體的問題,以便憑藉事物的形象把握題中所及的各物件之間的聯絡,找到原題的解題思路。

(一)、圖表直觀:

有些數學題,內容抽象,關係複雜,給理解題意增添了困難,常常會由於題目的抽象性和複雜性,使正常的思維難以進行到底。

對於這類題目,藉助圖表直觀,利用示意圖或表格分析題意,有助於抽象內容形象化,複雜關係條理化,使思維有相對具體的依託,便於深入思考,發現解題線索。

(二)、圖形直觀:

有些涉及數量關係的題目,用代數方法求解,道路崎嶇曲折,計算量偏大。這時,不妨藉助圖形直觀,給題中有關數量以恰當的幾何分析,拓寬解題思路,找出簡捷、合理的解題途徑。

(三)、圖象直觀:

不少涉及數量關係的題目,與函式的圖象密切相關,靈活運用圖象的直觀性,常常能以簡馭繁,獲取簡便,巧妙的解法。

四、特殊化策略

所謂特殊化策略,就是當我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時,要注意從一般退到特殊,先考察包含在一般情形裡的某些比較簡單的特殊問題,以便從特殊問題的研究中,拓寬解題思路,發現解答原題的方向或途徑。

五、一般化策略

所謂一般化策略,就是當我們面臨的是一個計算比較複雜或內在聯絡不甚明顯的特殊問題時,要設法把特殊問題一般化,找出一個能夠揭示事物本質屬性的一般情形的方法、技巧或結果,順利解出原題。

六、整體化策略

所謂整體化策略,就是當我們面臨的是一道按常規思路進行區域性處理難以奏效或計算冗繁的題目時,要適時調整視角,把問題作為一個有機整體,從整體入手,對整體結構進行全面、深刻的分析和改造,以便從整體特性的研究中,找到解決問題的途徑和辦法。

七、間接化策略

所謂間接化策略,就是當我們面臨的是一道從正面入手複雜繁難,或在特定場合甚至找不到解題依據的題目時,要隨時改變思維方向,從結論(或問題)的反面進行思考,以便化難為易解出原題。

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數學解題的思維過程是指從理解問題開始,經過探索思路,轉換問題直至解決問題,進行回顧的全過程的思維活動。

對於數學解題思維過程,G . 波利亞提出了四個階段*(見附錄),即弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧。這四個階段思維過程的實質,可以用下列八個字加以概括:理解、轉換、實施、反思。

第一階段:理解問題是解題思維活動的開始。

第二階段:轉換問題是解題思維活動的核心,是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發現過程,是思維策略的選擇和調整過程。

第三階段:計劃實施是解決問題過程的實現,它包含著一系列基礎知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達,是解題思維活動的重要組成部分。

第四階段:反思問題往往容易為人們所忽視,它是發展數學思維的一個重要方面,是一個思維活動過程的結束包含另一個新的思維活動過程的開始。


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